Bonjour
J'ai un exercice qui me pose encore problème.
J'espère que quelqu'un va pouvoir me donner un coup de main
Voici l'énoncé et l'état de mes recherches ...

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère les fonctions
f : Df = [0;1]     g : Dg =  [0;1]

                                n
f(x) = exp(-x) * ∑x puissance k/k !  et g(x) = f(x )+x puissance n / n !   *exp(-x)
               k=0     

où la factorielle d'un entier naturel k, notée k !, est définie par :

0 ! = 1
k ! = (k-1) ! * k = 1 * 2 * 3 * … * (k-1) * k si k>=1

a) Etudier les variations des fonctions f et g
b) En déduire l'encadrement f(1)<1<g(1)
c) Montrer alors que
n                                    n
∑   1/k !  < e < 1/n !  + ∑    1/k !              (*)
k=0                               k=0


2. Par l'absurde, supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que q>=2 et e = p/q

a. Démontrer que le produit q!e est un entier
b. Démontrer que si k est un entier compris entre 1 et q alors q !/k ! est un entier.
c. Ecrire l'encadrement (*) pour n = q puis multiplier par q ! les 3 membres
d. En déduire que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
e. Conclure

Voici ce que j'ai trouvé :

1.
a. Pour étudier les variations de f et g, je calcule les dérivées

f :
je pose
u = exp(-x) v = x0/0 !  + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !
                                                               = 1 + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !


u' = - exp(-x)                                     v' = 1 + 2x/2* 1 ! + 3x2/3*2 ! + …. n* xn-1/n*(n-1) !                      
                                                               =1 + x/1 ! + x² 2 ! + …  xn-1 / (n-1) !    


f'(x) = exp(-x)*(1 + x/1 ! + x² 2 ! + …  xn-1 / (n-1) !)  - exp(-x)* (1 + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !)
        = - exp(-x) * xn/n !

x>=0 donc xn/n ! > 0  et exp(-x)> 0 donc f'(x) < 0
La fonction f est décroissante sur son ensemble de définition.
Avec f(0) = 1
donc f(1) <1

g :

g(x) = f(x ) + xn/ exp(-x)
              n !

calcul de la dérivée de  xn /  n ! * exp(-x)
                            

u =  xn / n !                       v = exp(-x)
          

u' = n xn-1  / n !       v' = - exp(-x)
      

uv' + vu' = - exp(-x)  *   xn /  n !   +   exp(-x)    *   n xn-1 / n !    
                                                                    


g'(x) = - exp(-x) * xn/n !  - exp(-x)  * xn /  n !     +   exp(-x)  *  n xn-1 / n !      

        = exp (-x) [ - 2 xn/n ! + n xn-1 / n !  ]

J'ai dû faire une erreur car je n'arrive pas à déterminer le signe de g'(x) qui d'après la suite de l'exercice doit être <0

Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance