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irrationnalité de e

Posté par
helenechev
26-10-20 à 18:47

Bonjour
J'ai un exercice qui me pose encore problème.
J'espère que quelqu'un va pouvoir me donner un coup de main
Voici l'énoncé et l'état de mes recherches ...

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère les fonctions
f : Df = [0;1]     g : Dg =  [0;1]

                                n
f(x) = exp(-x) * ∑x puissance k/k !  et g(x) = f(x )+x puissance n / n !   *exp(-x)
               k=0     

où la factorielle d'un entier naturel k, notée k !, est définie par :

0 ! = 1
k ! = (k-1) ! * k = 1 * 2 * 3 * … * (k-1) * k si k>=1

a) Etudier les variations des fonctions f et g
b) En déduire l'encadrement f(1)<1<g(1)
c) Montrer alors que
n                                    n
∑   1/k !  < e < 1/n !  + ∑    1/k !              (*)
k=0                               k=0


2. Par l'absurde, supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que q>=2 et e = p/q

a. Démontrer que le produit q!e est un entier
b. Démontrer que si k est un entier compris entre 1 et q alors q !/k ! est un entier.
c. Ecrire l'encadrement (*) pour n = q puis multiplier par q ! les 3 membres
d. En déduire que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
e. Conclure

Voici ce que j'ai trouvé :

1.
a. Pour étudier les variations de f et g, je calcule les dérivées

f :
je pose
u = exp(-x) v = x0/0 !  + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !
                                                               = 1 + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !


u' = - exp(-x)                                     v' = 1 + 2x/2* 1 ! + 3x2/3*2 ! + …. n* xn-1/n*(n-1) !                      
                                                               =1 + x/1 ! + x² 2 ! + …  xn-1 / (n-1) !    


f'(x) = exp(-x)*(1 + x/1 ! + x² 2 ! + …  xn-1 / (n-1) !)  - exp(-x)* (1 + x1/1 !  + x2/2 ! + …  + xn/n !)
        = - exp(-x) * xn/n !

x>=0 donc xn/n ! > 0  et exp(-x)> 0 donc f'(x) < 0
La fonction f est décroissante sur son ensemble de définition.
Avec f(0) = 1
donc f(1) <1

g :

g(x) = f(x ) + xn/ exp(-x)
              n !

calcul de la dérivée de  xn /  n ! * exp(-x)
                            

u =  xn / n !                       v = exp(-x)
          

u' = n xn-1  / n !       v' = - exp(-x)
      

uv' + vu' = - exp(-x)  *   xn /  n !   +   exp(-x)    *   n xn-1 / n !    
                                                                    


g'(x) = - exp(-x) * xn/n !  - exp(-x)  * xn /  n !     +   exp(-x)  *  n xn-1 / n !      

        = exp (-x) [ - 2 xn/n ! + n xn-1 / n !  ]

J'ai dû faire une erreur car je n'arrive pas à déterminer le signe de g'(x) qui d'après la suite de l'exercice doit être <0

Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 27-10-20 à 18:07

Personne pour m'aider ?

Posté par
carpediem
re : irrationnalité de e 27-10-20 à 18:14

salut

difficile à lire surtout sans connaitre/utiliser le symbole de puissance ... comment fais-tu sur ta calculatrice ?

il faut absolument utiliser les outils du forum pour écrire des expressions mathématiques lisibles ...


posons s_n(x) = \sum_0^n \dfrac {x^k} {k!}

alors f(x) = e^{-x} s_n(x) $ et $ g(x) = f(x) + e^{-x} \dfrac {x^n} {n!}

et reprends proprement le calcul de f'(x) et g'(x) ... en écrivant proprement les choses ...

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 27-10-20 à 18:27

Bonjour à tous,

Si à la fin tu as voulu écrire que

g'(x) = exp (-x) [ - 2 xn/n ! + n xn-1 / n !  ]

alors, ce n'est pas faux. Mais effectivement réécris tout ça proprement.

Je vous laisse.

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 27-10-20 à 21:48

Je suis désolée... Je n'arrive pas à utiliser les outils du forum ...
Encore merci de m'avoir répondu

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 27-10-20 à 22:31

Dommage.

A toutes fins utiles, pour étudier le signe de g', mets xn-1/(n-1)! en facteur dans l'expression que tu as obtenue.

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 06:32

Merci de me tendre la main !
j'ai transformé  n xn-1 / n ! en xn-1/(n-1)!
j'ai transformé xn/n! en x * xn-1/n(n-1)!
j'obtiens g'(x)= e-x * xn-1/(n-1)! * [1-2x/n]

je sais que 0<x<1 et n>2
0<2x<2
0<2x/n<2/n<1
donc 1-2x/n >0 ce qui me permet de dire que g'(x) >0

est-ce correct ou trop "tiré par les cheveux" ?

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 07:57

Disons que c'est un peu compliqué mais c'est ça.

g'>0 pour x[0,n/2] , donc sur [0,1] puisque n>2.

g est donc croissante sur l'intervalle.

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 08:21

Merci encore !
J'ai réussi à terminer la partie 1 et à prouver la dernière inégalité.
J'attaque la question 2 et :
a) si e=p/q
q!e = q!p/q = (q-1)!p et est-ce que je peux simplement dire que le produit de 2 entiers est un entier ?
b) q!/k!    je comprends qu'il faut que je transforme q! mais je ne trouve pas dans mon cours si je peux dire que q! = (q-k)k!   ça m'arrangerait mais ....

Merci :

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 09:03

OK pour a/

Par contre b/ est faux. Je prends un exemple 7!/3!=4*5*6*7
Expliciter de même q!/k! (quitte à mettre des pointillés)

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 09:16

je vous propose
q!/k! = (1+2+3 +....+k+...+q)/(1+2+3+....k) = q!-k! qui est un entier

est-ce bon ?

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 09:19

Non, il s'agit de produits, pas de sommes et, de toute façon, ce serait faux.

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 09:28

Oui bien sûr !
je reprends
q!/k! = (1*2*3*4*....*k*...*q)/(1*2*3*....*k)=(k+1)*(k+2)*...q
et là est ce que je peux dire que c'est un entier ?

Posté par
larrech
re : irrationnalité de e 28-10-20 à 09:33

Oui parce qu'il s'agit du produit de tous les entiers consécutifs depuis k+1 jusqu'à q inclus.

Posté par
helenechev
re : irrationnalité de e 31-10-20 à 04:46

J'ai terminé tout l'exercice !
Je voulais vous remercier ! Vous m'avez beaucoup aidée !



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