Bonjour
J'ai un exercice qui me pose encore problème.
J'espère que quelqu'un va pouvoir me donner un coup de main
Voici l'énoncé et l'état de mes recherches ...
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère les fonctions
f : Df = [0;1] g : Dg = [0;1]
n
f(x) = exp(-x) * ∑x puissance k/k ! et g(x) = f(x )+x puissance n / n ! *exp(-x)
k=0
où la factorielle d'un entier naturel k, notée k !, est définie par :
0 ! = 1
k ! = (k-1) ! * k = 1 * 2 * 3 * … * (k-1) * k si k>=1
a) Etudier les variations des fonctions f et g
b) En déduire l'encadrement f(1)<1<g(1)
c) Montrer alors que
n n
∑ 1/k ! < e < 1/n ! + ∑ 1/k ! (*)
k=0 k=0
2. Par l'absurde, supposons qu'il existe deux entiers naturels p et q tels que q>=2 et e = p/q
a. Démontrer que le produit q!e est un entier
b. Démontrer que si k est un entier compris entre 1 et q alors q !/k ! est un entier.
c. Ecrire l'encadrement (*) pour n = q puis multiplier par q ! les 3 membres
d. En déduire que q!e est strictement compris entre deux entiers consécutifs.
e. Conclure
Voici ce que j'ai trouvé :
1.
a. Pour étudier les variations de f et g, je calcule les dérivées
f :
je pose
u = exp(-x) v = x0/0 ! + x1/1 ! + x2/2 ! + … + xn/n !
= 1 + x1/1 ! + x2/2 ! + … + xn/n !
u' = - exp(-x) v' = 1 + 2x/2* 1 ! + 3x2/3*2 ! + …. n* xn-1/n*(n-1) !
=1 + x/1 ! + x² 2 ! + … xn-1 / (n-1) !
f'(x) = exp(-x)*(1 + x/1 ! + x² 2 ! + … xn-1 / (n-1) !) - exp(-x)* (1 + x1/1 ! + x2/2 ! + … + xn/n !)
= - exp(-x) * xn/n !
x>=0 donc xn/n ! > 0 et exp(-x)> 0 donc f'(x) < 0
La fonction f est décroissante sur son ensemble de définition.
Avec f(0) = 1
donc f(1) <1
g :
g(x) = f(x ) + xn/ exp(-x)
n !
calcul de la dérivée de xn / n ! * exp(-x)
u = xn / n ! v = exp(-x)
u' = n xn-1 / n ! v' = - exp(-x)
uv' + vu' = - exp(-x) * xn / n ! + exp(-x) * n xn-1 / n !
g'(x) = - exp(-x) * xn/n ! - exp(-x) * xn / n ! + exp(-x) * n xn-1 / n !
= exp (-x) [ - 2 xn/n ! + n xn-1 / n ! ]
J'ai dû faire une erreur car je n'arrive pas à déterminer le signe de g'(x) qui d'après la suite de l'exercice doit être <0
Puis-je avoir de l'aide ? Merci d'avance
salut
difficile à lire surtout sans connaitre/utiliser le symbole de puissance ... comment fais-tu sur ta calculatrice ?
il faut absolument utiliser les outils du forum pour écrire des expressions mathématiques lisibles ...
posons
alors
et reprends proprement le calcul de f'(x) et g'(x) ... en écrivant proprement les choses ...
Bonjour à tous,
Si à la fin tu as voulu écrire que
g'(x) = exp (-x) [ - 2 xn/n ! + n xn-1 / n ! ]
alors, ce n'est pas faux. Mais effectivement réécris tout ça proprement.
Je vous laisse.
Je suis désolée... Je n'arrive pas à utiliser les outils du forum ...
Encore merci de m'avoir répondu
Dommage.
A toutes fins utiles, pour étudier le signe de g', mets xn-1/(n-1)! en facteur dans l'expression que tu as obtenue.
Merci de me tendre la main !
j'ai transformé n xn-1 / n ! en xn-1/(n-1)!
j'ai transformé xn/n! en x * xn-1/n(n-1)!
j'obtiens g'(x)= e-x * xn-1/(n-1)! * [1-2x/n]
je sais que 0<x<1 et n>2
0<2x<2
0<2x/n<2/n<1
donc 1-2x/n >0 ce qui me permet de dire que g'(x) >0
est-ce correct ou trop "tiré par les cheveux" ?
Disons que c'est un peu compliqué mais c'est ça.
g'>0 pour x[0,n/2] , donc sur [0,1] puisque n>2.
g est donc croissante sur l'intervalle.
Merci encore !
J'ai réussi à terminer la partie 1 et à prouver la dernière inégalité.
J'attaque la question 2 et :
a) si e=p/q
q!e = q!p/q = (q-1)!p et est-ce que je peux simplement dire que le produit de 2 entiers est un entier ?
b) q!/k! je comprends qu'il faut que je transforme q! mais je ne trouve pas dans mon cours si je peux dire que q! = (q-k)k! ça m'arrangerait mais ....
Merci :
OK pour a/
Par contre b/ est faux. Je prends un exemple 7!/3!=4*5*6*7
Expliciter de même q!/k! (quitte à mettre des pointillés)
Oui bien sûr !
je reprends
q!/k! = (1*2*3*4*....*k*...*q)/(1*2*3*....*k)=(k+1)*(k+2)*...q
et là est ce que je peux dire que c'est un entier ?
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