Bonsoir,

Pour un anneau intègre A, X est toujours irréductible dans A[X], non?

Bonsoir romu!
Donc on écrit alors est intègre ?

Oui par définition ,

et quand A est intègre, alors A[X] intègre (il me semble que la réciproque marche aussi, à voir).

mais j'arrive pas à le visualiser que X irréductible de A[X], ça doit pas etre sorcier pourtant!

ok, je pense qu'il faut procéder comme ça:

on a supposé A intègre, donc pour tout polynôme P,Q de A[X], d°(PQ)=d°(P)+d°(Q)


Déjà X n'est pas inversible, ensuite soient P,Q deux polynômes de A[X] tels que X=PQ.

d°(X)=1, il faut faire une étude sur les degrès de P et Q pour voir qu'il y a soit P, soit Q qui est un élément inversible.

ah ok, mais donc on a deg(P)+deg(Q)=1 soit deg(P)=1 et deg(Q)=0, soit l'inverse ??

oui voilà.

CPar esemple pour le cas où deg(P)=1 et deg(Q)=0,

ça veut dire que P=nX, pour un certain entier n, et Q=k pour un certain entier k.

Et donc on a X=knX, ie kn=1. Donc k=n=-1 ou k=n=1.

Sauf erreur.

pardon, lol j'ai fait comme si .

Ok.
Donc ceci vaut dans A[X₁,...,X_n].
Si A est intègre, X₁,...,X_n sont irréductibles ?

Oui j'avais compris !

On va supposer A commutatif, pour le cas non commutatif, je vois pas.

pour le cas où deg(P)=1 et deg(Q)=0,

ça veut dire que P=aX, pour un certain élément a de A, et Q=b pour un certain élément de A.

Et donc on a X=abX, ie . Donc a et b sont inversibles.

et j'ai toujours pas fini (je suis rouillé en algèbre, j'en ai pas fait pendant plus d'un an quasiment)

donc Q=b est inversible.

pour ta réponse de 00:00 oui tu étends le résultat par récurrence, mais je pense qu'il faut rajouter que A est commutatif.

ok ok bon faut que je reprenne cette démo!
Ici dans ce module d'algèbre on travail avec des A.C.U donc c'est OK !!
Merci !

Oui et il faut préciser que notre anneau est intègre,
je suis pas sûr que X est forcément irréductible si c'est pas le cas,
dans la démo, on s'est servi plusieurs fois du fait que A (et donc A[X] est intègre).