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Isométrie du plan / nombre complexe / Suite

Posté par
snutile
07-12-12 à 11:15

Bonjour,
Soit P plan orienté rapporté à (0,,) orthonormal direct, M d'affixe Z,

f(M) = M' d'affixe Z' = -jZ + i où j = ei(2/3)

1. Trouver la nature et les éléments caractéristiques de f.

2. Soit la suite de point (Mn)n, définie par :
M0
et
pour tout n de , Mn+1 = f (Mn)

L'affixe de Mn est Zn et l'affixe de Mn+1est Zn+1=-jZn + i
a. On pose Zn= Zn - ei(/6)
Calculer Zn+1 en fonction de Zn, puis de Zn en fonction de n.
b. Représenter graphiquement les points: M0, M1, M2, M3, M4, M5 et M1989

Posté par
cailloux Correcteur
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 12:28

Bonjour,

1) z'=-e^{i\frac{\2\pi}{3}}z+i=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\,z+i

z'=az+b avec |a|=1

C' est une rotation d' angle -\dfrac{\pi}{3}

Son centre est sont point fixe:

z=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\,z+i

z\,\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}=i

z=\dfrac{2i}{1+i\sqrt{3}}

z=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}

f est donc la rotation de centre \Omega\left(\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}\right) et d' angle -\dfrac{\pi}{3}

Posté par
snutile
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 14:35

Bonjour,
Merci pour les détails. Il reste la suite, qui pourrais donner la réponse ?
A bientôt.

Posté par
snutile
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 15:44

Bonjour,
cailloux, est-ce que vous avez intégré i dans la conclusion et comment faire la schématisation à partir d'un exemple ?
Merci encore.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 15:53

Une fôte de frappe à la première ligne; il faut lire:

z'=e^{-i\frac{\pi}{3}}z+i=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\,z+i

Ce qui ne change rien pour la suite.

2)a) Ton énoncé ne tient pas la route....

2)b)

Isométrie du plan / nombre complexe / Suite

1989=6\times 331+3

M_{1989}=M_3

Posté par
snutile
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 17:31

Bonjour,
Merci pour vos réponses, qui ont aidé.
En effet à vérifier:
La représentation géométrique:

Z3 égal=, quand le signe -reste à i

1) =( + 5/6) et faire la symétrie par rapport à l'axe des x à partir du nouveau centre .

2) =, en intégrant le signe -, il n'aura pas besoin d'effectuer la symétrie (i, c'est partie imaginaire sin)

O est distant de longueur module ||i|| du point invariant (translation i)

A bientôt.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Isométrie du plan / nombre complexe / Suite 07-12-12 à 17:57

!!!



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