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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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isométrie locale

Posté par
Theo92
18-04-19 à 05:12

Bonjour.

Je suis parvenu à montrer que le plan et le cylindre droit, via leurs paramétrisations standard, sont localement isométriques, car elles présentent les mêmes coefficients pour leur première forme fondamentale.
Je cherche à également montrer que le cône leur est localement isométrique.
La paramétrisation que j'utilise est  \phi^* : (\theta,v) \in [0,2 \pi[ \times \mathbb{R}^*_+ \longmapsto (v \cos\theta, v \sin \theta, v)

La norme d'un vecteur tangent \alpha \phi_{\theta} + \beta \phi_{v}  me donne   2(v^2 \alpha ^2 + \beta ^2), alors que je retrouve bien  \alpha ^2 + \beta ^2 pour le plan et le cylindre.

Ma paramétrisation ne doit pas être la bonne pour la démonstration que  I_p = I_p^*  pour  p=\phi(u,v) dans le plan ou sur le cylindre et  p^*=\phi(\theta,v)  sur le cône.

Pour résumer, je ne parviens pas à montrer que le cône est localement isométrique au plan, et je vous remercie par avance pour toute l'aide que vous voudrez bien m'apporter.

Posté par
etniopal
re : isométrie locale 18-04-19 à 08:18

Pourquoi ne pas utiliserla projection  orthogonale sur le plan horizontal ?

Posté par
Theo92
re : isométrie locale 18-04-19 à 13:29

Bonjour etniopal. Je vous remercie pour votre réponse.

Pour le plan et le cylindre, je trouve E=1, F=0 et G=1 pour les coefficients de la première forme fondamentale.
Pour le cône, je trouve dans la paramétrisation ci-dessus E=v^2, F=0 et G=2.
Si je comprends bien, je dois trouver un difféomorphisme qui préserve la première forme, soit qui transforme les coefficients les uns en les autres?
Pourriez-vous m'éclairer sur cette transformation, ou bien développer la projection orthogonale?

Merci beaucoup.

Posté par
etniopal
re : isométrie locale 18-04-19 à 16:12

   Soient     , C()   := { ( rcos(t) , r.sin(t) , r)  │ r > 0 , t } et   p   la  projection orthogonale sur le plan  xOy .

I l me semble qu'il existe un réel     tel que la restriction à  C()   de  .p   soit une isométrie de    C()  sur   C(0) .

Posté par
etniopal
re : isométrie locale 18-04-19 à 17:27

Non ,  laisse tomber !!

Posté par
Theo92
re : isométrie locale 19-04-19 à 02:44

Merci.

J'ai trouvé enfin, en utilisant en effet les paramétrisations  (\rho \cos \theta, \rho \sin \theta , 0)   et    (\rho\sin \alpha \cos(\frac{\theta}{\sin \alpha}) , \rho\sin \alpha \sin(\frac{\theta}{\sin \alpha}) , \rho\cos \alpha) .



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