Bonjour.
Je suis parvenu à montrer que le plan et le cylindre droit, via leurs paramétrisations standard, sont localement isométriques, car elles présentent les mêmes coefficients pour leur première forme fondamentale.
Je cherche à également montrer que le cône leur est localement isométrique.
La paramétrisation que j'utilise est
La norme d'un vecteur tangent me donne , alors que je retrouve bien pour le plan et le cylindre.
Ma paramétrisation ne doit pas être la bonne pour la démonstration que pour dans le plan ou sur le cylindre et sur le cône.
Pour résumer, je ne parviens pas à montrer que le cône est localement isométrique au plan, et je vous remercie par avance pour toute l'aide que vous voudrez bien m'apporter.
Bonjour etniopal. Je vous remercie pour votre réponse.
Pour le plan et le cylindre, je trouve E=1, F=0 et G=1 pour les coefficients de la première forme fondamentale.
Pour le cône, je trouve dans la paramétrisation ci-dessus E=v^2, F=0 et G=2.
Si je comprends bien, je dois trouver un difféomorphisme qui préserve la première forme, soit qui transforme les coefficients les uns en les autres?
Pourriez-vous m'éclairer sur cette transformation, ou bien développer la projection orthogonale?
Merci beaucoup.
Soient , C() := { ( rcos(t) , r.sin(t) , r) │ r > 0 , t } et p la projection orthogonale sur le plan xOy .
I l me semble qu'il existe un réel tel que la restriction à C() de .p soit une isométrie de C() sur C(0) .
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