Bonjour letonio

Dans le plan, on n'a pas vraiment le choix. Les isométries, il n'y a pas tellements (et les vectorielles, encore moins ).
Peux-tu me dire quels sont les cas possibles ?

Kaiser

rotations et symétries?

oui (et l'identité ) !
D'abord, peut-on avoir l'identité dans le cas qui nous occupe ?

Kaiser

Non puisque s1 différent de s2^-1

Hum je ne sais pas trop comment prouver que l'on n'a pas l'identité...
Peut-être en utilisant le fait que u1 et u2 ne sont pas colinéaires, et que donc s1 et s2 ne sont pas des symétries par rapport à la même droite...

Houlà c'est pas très en ordre dans ma tête.

C'est bien ça.
Pour montrer que la composée de deux symétries n'est pas l'identité, il suffit de montrer qu'elles ne sont pas égales (car la réciproque d'une symétrie, c'est ele-même).
Comme les deux vecteurs, ne ont pas colinéaires, on en déduit le résultat.
Maintenant, rotation ou symétrie ?

Kaiser

rotation parce que je le sens comme ça

Oui c'est bien ça mais je ne pense pas que ton prof sera du même avis
Par définition, qu'est-ce qu'une rotation ?

Kaiser

On utilise à la suite deux symétries différentes (qui sont pour moi des rotations particulières, arrête moi si je me trompe). Donc on obtient une rotation.
Mais pourquoi pas une symétrie???

une rotation c'est une application dont la matrice est du type
( cos theta    sin theta
  -sin (theta  cos theta)     quelle que soit la base, où theta ne dépend pas de la base

Attention, une symétrie, ce n'est absolument pas une rotation !
La définition que j'ai des rotations du plan, c'est l'ensemble des endomorphismes othogonaux de différents de l'identité qui sont de déterminant égal à 1.
Les symétries sont celles de detérminant égal à -1.

Kaiser

ok c'est vrai. Compris. J'ai les mêmes définitions.

OK !
Alors, pourquoi est-ce une rotation (autrement dit, pourquoi son déterminant vaut 1) ?

Kaiser

Hum hum une piste?

Oui ne dis rien je sais

dét (s1os2)= dets1 . dets2= 1

Oups je ne suis pas sûr d'avoir le droit d'écrire ça pour une composition de fonctions :/

c'est bien ça.
À présent, que reste-t-il à faire pour caractériser complètement cette rotation ?

Kaiser

Ah oui c'est vrai que ça correspond bien à la version matricielle que je connais...

Donc maintenant il faut trouver theta, je suppose

theta, l'angle de rotation

Oui, sauf que la notation est déjà prise !
Si tu le veux bien, appelons l'angle de la rotation.

Comment le détermine-t-on ?

Kaiser

C'est là qu'il y a un gros blanc dans ma tête

Ma première idée serait de calculer s1os2 (v1)  et s1os2(v2)
où vi= ui/||ui||  i=1,2
ce qui permet d'obtenir s1os2(x) pour tout x puisque v1 et v2 forment une base.

On obtient ainsi la matrice de s1os2 dans la base (v1,v2)...

Sauf que et ne sont pas orthogonaux.
Par contre, ton idée de calculer l'image de a du bon.
Qu'obtiens-tu ?

Kaiser

voilà ce que je trouve

s2(v1)= -v1+ 2 cos theta v2     avec theta = (v1,v2)   (angle)
et par linéarité:
s1os2(v1)= -s1os2(v1)+ 2cos theta s1os2(v2)

Mais je ne vois pas trop où ça m'amène. Je suppose donc à la lecture de ton message que je dois prendre une base orthonormée.

Oups, je suis désolé !
En fait, je pense que cela aurait été plus simple de calculer l'image de .
Sinon, tu peux aussi considérer une base orthonormée directe dont le premier vecteur est et exprimer cette rotation dans cette base.

Kaiser

Bon j'ai finalement pris une base orthonormée (v2,w2) avec v2= u2/||u2||
Je comprends comment on arrive à dire que dans cette base,
Mat(s1 o s2)=
( cos(-2theta)  *
  sin(-2theta)  *  )

Il me semble que l'on peut compléter les coefficients qui sont notés * dans la correction que j'ai, puisque que l'on sait qu'il s'agît d'une matrice de rotation...


J'ai du mal à enchaîner.
Voilà ce que j'ai dans ma correction , qui me laisse perplexe.
(u2,s1os2(u2))= (u2,u1)+(u1,s1os2(u2))   (jusque là d'accord)
= - + (s1(u1),s1(u2))
Je ne comprends pas pourquoi (u1,s1os2(u2))=(s1(u1),s1(u2))