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Isométries

Posté par
ausensio45
02-02-24 à 20:45

Bonsoir,
J'aimerai prouver que les isométries conservent les angles entre les vecteurs, pouvez-vous m'aider ?

Je pensais à utiliser la formule lien produit scalaire entre deux vecteurs, leurs normes et le cosinus de l'angle formé entre les deux. Je devrai donc démontrer que les isométries conservent le produit scalaire, mais je ne vois pas vraiment comment faire...

Merci d'avance pour votre aide !

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
lake
re : Isométries 02-02-24 à 21:26

Bonsoir,
S'il s'agit d'angles orientés de vecteurs, j'ai un doute.
Certaines isométries le conservent mais d'autres le "transforment" en son opposé.
Qu'en est-il exactement ?

Posté par
ausensio45
re : Isométries 03-02-24 à 10:46

Bonjour,

Il n'est pas précisé angle orienté, je pense donc qu'on regarde ici seulement l'angle dans l'absolu.

La question est : "Démontrer qu'une isométrie du plan conserve les angles entre les vecteurs".

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 03-02-24 à 11:11

Bonjour,
Écrit ainsi c'est faux.
Dans quel contexte est posée cette question ?

Posté par
candide2
re : Isométries 03-02-24 à 11:20

Bonjour,

Je ne suis pas sûr que les conventions sont les mêmes pour tous.

Par exemple ici :
On a ceci :

   Les transformations suivantes sont des isométries:

la transformation identité,
la translation,
la rotation,
la symétrie orthogonale.

* Modération > Accès au lien facilité *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 03-02-24 à 11:32

Bonjour candide2,
Oui, et il y a aussi les symétries orthogonales glissées.
Et ça s'arrête là si on parle des isométries du plan.

Par définition, une isométrie est une transformation qui conserve les distances.

Posté par
ausensio45
re : Isométries 03-02-24 à 14:16

Merci à vous pour vos réponses.

Le contexte ici est un exercice de TD sur les isométries, dans mon cours les isométries sont définies de la façon suivante :
"Une isométrie du plan est une fonction qui conserve les distances"

Dans quel cas dois-je me placer pour que l'énoncé soit vrai ?

Posté par
lake
re : Isométries 03-02-24 à 14:48

Bonjour,
Dans le plan tu peux considérer ce qu'on appelait le groupe des  déplacements :
- Id
- Translations
- Rotations

Des isométries qui conservent effectivement les angles orientés de vecteurs.

Posté par
ausensio45
re : Isométries 03-02-24 à 15:20

Merci, malheureusement je ne vois pas comment avancer dans ma preuve... Pouvez-vous me donner un peu plus d'indications ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 03-02-24 à 16:45

Quelles sont les expressions du produit scalaire que tu connais ?

Posté par
ausensio45
re : Isométries 03-02-24 à 19:03

Sylvieg @ 03-02-2024 à 16:45

Quelles sont les expressions du produit scalaire que tu connais ?


J'aurai aimé utilisé cette formule :

[tex]\vec{u}.\vec{v}=\Vert\vec{u}\Vert\times \Vert\vec{v}\Vert cos(\vec{u},\vec{u})
[/tex]
Mais il me faudrait l'invariance du produit scalaire

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 03-02-24 à 19:13

Il y en a d'autres ; va voir par là : Un cours complet sur le produit scalaire

Posté par
ausensio45
re : Isométries 03-02-24 à 20:18

Sylvieg

Sylvieg @ 03-02-2024 à 19:13

Il y en a d'autres ; va voir par là : Un cours complet sur le produit scalaire


Merci, j'ai trouvé une formule du produit faisant intervenir seulement les normes mais j'aimerai montrer que :
\Vert f(\vec{u})+f(\vec{v})\Vert=\Vert \vec{u}+ \vec{v}\Vert
Je n'arrive pas à voir pourquoi ça serait vrai ?
J'essaye de montrer d'abord l'invariance du produit scalaire pour ensuite conclure sur l'invariance des angles entre les vecteurs grâce à ma formule du cours.

Posté par
Zormuche
re : Isométries 03-02-24 à 20:44

Bonjour

A fortiori, f est une application linéaire. Donc que dire du membre de gauche ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 03-02-24 à 20:50

On parle d'isométrie du plan affine ou du plan vectoriel

Posté par
ausensio45
re : Isométries 04-02-24 à 10:16

Zormuche @ 03-02-2024 à 20:44

Bonjour

A fortiori, f est une application linéaire. Donc que dire du membre de gauche ?


Pourquoi une isométrie serait une application linéaire ?
Merci pour votre réponse

Posté par
ausensio45
re : Isométries 04-02-24 à 10:17

Sylvieg @ 03-02-2024 à 20:50

On parle d'isométrie du plan affine ou du plan vectoriel


Isométrie du plan vectoriel je pense, on ne distingue pas les deux cas dans mon cours ou mon TD...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Isométries 04-02-24 à 10:56

Il ne faut pas penser, il faut savoir...
Je laisse tomber.

Posté par
ausensio45
re : Isométries 04-02-24 à 15:00

Sylvieg @ 04-02-2024 à 10:56

Il ne faut pas penser, il faut savoir...
Je laisse tomber.

Je n'y peux pas grand chose...

Posté par
lake
re : Isométries 04-02-24 à 15:37

Bonjour,
Moi non plus, je n'ai pas envie de poursuivre. Néanmoins :

Citation :
On parle d'isométrie du plan affine ou du plan vectoriel


Citation :
on ne distingue pas les deux cas dans mon cours ou mon TD...

Une question judicieuse à laquelle tu te refuses de répondre.
C'est un tort :
Dans le premier cas, on parle de transformations ponctuelles.
Dans le second d'algèbre linéaire.
Une réponse adaptée est tributaire des deux cas envisagés.

Posté par
ausensio45
re : Isométries 04-02-24 à 16:10

lake @ 04-02-2024 à 15:37

Bonjour,
Moi non plus, je n'ai pas envie de poursuivre. Néanmoins :
Citation :
On parle d'isométrie du plan affine ou du plan vectoriel


Citation :
on ne distingue pas les deux cas dans mon cours ou mon TD...

Une question judicieuse à laquelle tu te refuses de répondre.
C'est un tort :
Dans le premier cas, on parle de transformations ponctuelles.
Dans le second d'algèbre linéaire.
Une réponse adaptée est tributaire des deux cas envisagés.


Je ne refuse de répondre à rien du tout ! Je ne vais juste pas inventer des choses qui ne sont pas précisé dans mon cours !

Posté par
ausensio45
re : Isométries 04-02-24 à 16:11

D'autant plus que j'ai précisé que si je devais donner mon avis on parlait d'isométrie du plan vectorielle

Posté par
Zormuche
re : Isométries 04-02-24 à 19:00

ausensio45

ausensio45 @ 04-02-2024 à 10:16

Zormuche @ 03-02-2024 à 20:44

Bonjour

A fortiori, f est une application linéaire. Donc que dire du membre de gauche ?


Pourquoi une isométrie serait une application linéaire ?
Merci pour votre réponse


Parce que je pensais qu'on parlait d'isométrie vectorielle dans un espace vectoriel, j'ai mal lu les premiers posts



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