Inscription / Connexion Nouveau Sujet
isométries, similitudes
L'exercice de géométrie est le suivant :
On considère ABC un triangle équilatéral direct, on note A', B' et C' les milieux de [BC], [CA] et [AB] et (D) la médiatrice du segment [AB].
On considère aussi :
- s similitude directe de centre C telle que s(A)= A'
-
la réflexion d'axe (D)
On veut déterminer l'ensemble des points M du plan tels que A soit equidistant des points s(M) et
(M) ie As(M) = A(M)
Voici mes idées :
- On remarque que s(A) = A' donc CA' = k.CA où k est un réel > 0
Je trouve k = 1/2 (car A' milieu de [BC] et ABC équilatéral)
D'où : Cs(M) = 1/2 CM
s est donc une similitude directe de centre C, de rapport k différent de 1 : c'est donc la composée commutation d'une homothétie de centre C de rapport 1/2 et d'une rotation de centre C et d'angle
. Ici je trouve que = 
/3 [2]
- je connais aussi la définition d'une réflexion
MAis en partant de l'égalité As(M) = A
(M)j'ai du mal à avancer, j'ai voulu mettre l'expression au carré puis regrouper et donc utiliser une idéntité remarquable afin d'avoir un produit scalaire et intercaler le point C entre mais c'est bof.. des idées? merci
Bonjour,
On peut, sans nuire à la généralité du problème, choisir un triangle équilatéral de côté 1.
On travaille dans le repère l' axe des réel correspond à la médiatrice de
. (voir figure).
Dans ce repère, l' écriture complexe de est
et
a pour affixe
Celle de la symétrie d' axe est
Les conditions de l' énoncé se traduisent par:
Relation que l' on peut élever au carré puis transformer avec
Après quelques calculs, on tombe sur l' équation d' un cercle:
Ce cercle passe par
Re,
Il existe une solution géométrique beaucoup plus élégante:
Soit tel que
ou
et et
où \Delta est la reflexion d' axe la médiatrice de
On a et
car
d' où
Soit
L' ensemble des points cherché est donc le cercle de diamètre où
est le barycentre de
est le barycentre de
C' est tout de même mieux comme ça...
Annuler
connectez vous
géométrie en post-bac