Bonsoir,

par définition, une application linéaire c'est un homomorphisme donc effectivement un isomorphisme est une application linéaire bijective.

Bonsoir,

isomorphisme d'ev = application linéaire bijective

merci! je savais bien que ma question était un pe idiote...

Bonsoir.

Effectivement, tu dois d'abord prouver que l'application est linéaire. Ensuite tu t'occupes de la bijectivité.

Un petit truc pour l'injectivité : cherche le noyau.En effet, Ker(f) = 0 <=> f injective

Si f : E -> F, et que E et F sont de dimension finies, il ne peut y avoir isomorphisme que si dim(E) = dim(F).

A plus RR.

bonsoir,

petite précision sur le concept de "morphisme", dont le fondement est souvent mal perçu : En mathématique, pour pouvoir raisonner en toute sécurité et avec un certain confort (je veux dire par la en limitant les risques d'erreur et en ayant en main un cadre mathématique nous permettant d'utiliser notre intuition, notre visualisation des choses sans se bloquer dans un cadre formel inextricable) nous sommes amené a définir sur les ensembles d'objets que l'on manipule certaines structures :

groupes, anneaux, espaces vectoriels : cadre général pour manipuler de objets un peu comme si c'était des points de R (entre autre)

espaces topologique : pour pouvoir parler de limite, et de continuité

espaces mesurable : pour pouvoir parler de notions plus analytique (integration, probas)

lorsque un (ou plusieurs) de ces cadres sont mis sur des ensembles donnés, nous aimerions avoir des applications qui conserve ces structures :

Un morphisme entre ensemble truc est une application conservant le cadre truc

(ici "conserver le cadre truc" dépend du contexte : par exemple pour les groupes, anneaux, espace vectoriels, cela signifie conserver les lois et leur propriétés (associativité,...), pour les espaces topologiques, c'est conserver les topologies)

anneaux --> morphismes d'anneaux
espaces vectoriels --> morphisme d'espaces vectoriels = application linéaire
espaces topologiques --> morphismes d'espaces topologiques = application continue
...

Un isomorphisme est alors une application bijective conservant les structures. Pour montrer qu'une application entre ensemble truc est un isomorphisme d'espace truc, il faut donc montrer que l'application est truc, bijective et que son inverse est truc

Cependant dans le cadre vectoriel, si une application est lineaire et bijective alors son application réciproque est aussi lineaire => pour montrer qu'une application donnée est un isomorphisme d'ev il suffit en effet de montrer que l'application est linéaire bijective!

mais attention ceci n'est pas le cas par exemple pour les morphismes d'espaces topologiques : il faut bien vérifier que l'application réciproque est truc

(merci de remplacer "truc" par le mot adequat dans le contexte, sinon tout ce que je viens d'écrire n'a aucun sens )