non...

c'est quoi le premier théorème d'isomorphie ?

Alors :
Soit f: AB avec A et B deux anneaux f un morphisme d'anneaux.Soit I un idéal de A tel que IKerf.
On note p:AA/_I.
Il existe un unique morphisme d'anneaux g: A/_IB tq gop=f
De plus :
1) g est surjectif ssi f est surjectif
2) f est injectif ssi I=Kerf
3) f induit un isomorphisme d'anneaux g: A/_KerfImf
C'est bien cela ?

Bonjour
Juste pour ma comprenure personnelle :

Ce que l'on appelle est bien l'image du morphisme d'anneau ?
Si oui, on aurait donc ?
Où est un sous-anneau de , vu que

il me semble ...

Oui []={n+m avec n,m entiers}
Mais donc je ne comprend où est-ce que j'ai tort ..
Pouvez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?

Qu'est-ce exactement ? C'est pareil que ?

Je vous envoie la fiche :
https://webmail.etud.u-picardie.fr/imp/view.php?actionID=view_attach&id=2&muid=%7B5%7DINBOX1212&view_token=_MUPRYyyPq1qHnV7fV_XyBt&uniq=1544640942814

Je n'ai pas plus d'indications que ça.
Dans le cours on avait juste traité [i] mais sur des questions différentes ( par exemple, montrer que c'était un anneau euclidien etc..)

Je comprends pas trop quel est ta question, en fait?
Le résultat est parfaitement évident.

Il faut démontrer que []/₍₂₎ est isomorphe à /2[X]/_(X²X+1) en utilisant le premier théorème d'isomorphie pour les anneaux.

Mais ça me paraît vraiment pas facile de trouver une application f telle que :
f :[]/2)[X]/_(X²+X+1) avec f un morphisme d'anneau, surjectif et Kerf=(2).
Donc je pense qu'il faut utiliser la transitivité de la relation d'isomorphie pour se ramener à quelquechose de plus simple. Mais je ne sais pas comment faire à vrai dire ..

Tu as une fleche surjective donnée par X s'envoie sur .
Le noyau de cette fleche est (2, X^2+X+1).

J'ai noté au lieu de

On n'a pas étudié ce qu'est une fleche surjective, et il faut que dans la preuve j'utilise le théorème d'isomorphie ...

Tu sais pas ce qu'est une application surjective? Ici fleche, veut simplement dire morphisme d'anneau. Le "théorème d'isomorphie" t'assure que comme (2, X²+X+1) est le noyau tu as un isomorphisme de sur .

Oui je sais ce qu'est une application surjective.
Mais c'est le noyau de quelle application ??

Mais... lis mes messages enfin, de la fleche donnée par X s'envoie sur alpha.

Vous parlez de l'application

f: [X] /2
    PP) ?

Je comprend pas ce que je vous dites.
Pouvez-vous expliciter votre pensée s'il vous plait ?

Je ne vois pas trop trop ce que je peux rajouter, tu as une application surjective donnée par , le noyau de cette application est donnée par l'idéal que je t'ai indique.

Est ce que tu comprends ce qu'est l'application qui envoie X sur alpha? Est ce que tu comprend ce qu'est l'application , c'est simplement l'application de passage au quotient par un ideal?
L'application que je considère est simplement la composée des deux.
Maintenant il est clair qu'un element dans le noyau est un élément de (2, X^2+X+1), il suffit pour cela de voir que si f  est dans le noyau alors f s'envoie sur un element de (X^2+X+1 ) dans F_2[X] via l'application de réduction mod 2.  Comme l'image reciproque de (X^2+X+1) par Z[X] ->F_2[X] est par définition (2, X^2+X+1) on en déduit que f est dans (2, X^2+X+1) et l'inclusion réciproque est évidente.
Je vois mal comment en dire plus.

Donc si j'ai bien compris vous dites que /2[X]/_(X²+X+1) =[X]/_(2,X²+X+1) ??

Bien evidement.
Enfin c'est pas exactement une égalité bien sur c'est un isomorphisme.

Il n'est pas idiot d'avoir un interprétation géométrique de ce que tu fais. Ca aide toujours pour apprivoiser ce genre de choses.
Tu peux voir Z[\alpha] comme un revetement de degré 2 de Z que tu peux visaliser dans ta tete comme une courbe projective (P^1 en fait). Tu regarde ici simplement ce qu'il se passe dans "la fibre au dessus de 2".
Ceci ne te parlera peut etre pas si tu n'as pas fait un peu de géométrie, mais c'est une bonne façon de visualiser de tels objets.

C'est en DEA que j'ai commencé à voir les applications de revêtement ...
Ça ne parlera pas à AnneDu60.

On peut décrire explicitement ? Je n'y arrive pas.
C'est le plus petit corps contenant et .
Donc c'est le corps engendré par et .

Donc on aurait

Mais serait-il ?

On a toujours ?

Merci de m'aider à comprendre.

La notation n'était ptetr pas la notation de l'année pour comprendre ce qu'il se passe (meme si c'est une notation "correcte"). C'est pour ca que j'ai changé de notation dans un second temps pour .
Mais dans tous les cas ca correspond toujours à la meme chose, c'est à dire le corps de décomposition ou de rupture de X^2+X+1 sur .
Ca correspond également à et aussi à .
Si tu veux une déscrption explicite tu as un élément dans qui verifie et ensemblistement c'est l'ensemble un base en tant que F_2 espace est donnée par (1, \alpha).

Merci pour tes explications.
Je vois intuitivement ce dont il retourne, mais il va falloir que je reprenne sérieusement quelques bases sur les corps, extensions de corps, corps de rupture et tutti quanti ...

Il est d'ailleurs instructif de regarder ce qu'il se passe au dessus de l'idéal (5) en lieu et place de l'ideal (2). La situation est assez differente.

Je n'y manquerai pas, mais là je vais déjà comprendre cet exercice tel qu'il est formulé.

Bonsoir,

J'essaye de montrer ce résultat (évidemment en lien avec le problème initial) :
Soit A un anneau, a,b des éléments de A.

Montrer que :


Pour cela je pose f: A/(a) A/(a,b)
je trouve l'expression de f et j'utilise le théorème d'iso.
J'ai deux questions : c'est bien b barre et non b ?  Car Kerf A/(a) donc Kerf est une classe d'équivalence alors que (b)=bAA ..
J'imagine que pour résoudre ce probleme on utilise le théorème d'iso, pouvez vous m'indiquer quel morphisme chosir ?

Deuxieme chose : Comme (a)=aA alors (a,b)=aA+bA ?

Oui, c'est bien b barre, c'est l'image de b dans le quotient.
Ben le morphisme il est evident, c'est celui qui est déduit du morphisme de A/(a) dans A/(a,b) par passage au quotient.
Enfin oui, (a,b)=aA+bA.

J'ai l'impression que tu comprends pas ce qu'est un quotient en fait.

Soit A un anneau.
Soit I une partie non vide de A.
Alors le quotient A/I c'est l'ensemble des classes d'équivalence de A modulo I.
A/I={x barre+I, x A} ??

Ce que je comprend pas c'est que vous dite qu'il est évident mais pourquoi vous me l'écrivez pas ? J'aimerai bien le connaître s'il vous plait ..

Ben lui donner un nom ca change pas pas grand chose.
Si A est un anneau (commutatif pour simplifier les idées) et I un ideal de A tu as une application canonique de passage au quotient de A dans A/I  qui est un élément a associe sa classe dans A/I.

Oublie cette vision que les éléments de A/I sont les x+I, enfin c'est vrai, mais ca ne sert quasi à rien.  Ce qui sert c'est la propriété universelle du quotient.
Tu as un morphisme d'anneau de A dans A/I et tout morphisme d'anneau de A dans un anneau R qui tue I (c'est à dire qui envoie I sur 0) se factorise de manière unique à travers l'application de passage au quotient.

Si tu tiens à l'ecrire en terme de classe l'application c'est simplement x s'envoie sur x+I

Au passage tu n'as pas du tout un quotient pour n'importe quelle partie I de  A, enfin tu as un quotient ensemblise, mais le quotient n'a pas de structure d'anneau qui fasse de la projection un morphisme d'anneau, tu en as une ssi I est un idéal de A. Ce qui est là aussi trivial à prouver.

Le quotient de A par I c'est simplement un anneau muni d'une fleche de A dans A/I e noyau I et qui soit "le plus petit possible". Tu tues (envoie sur 0) exactement les elements de I.

Ce que je raconte n'est d'ailleurs en rien spécifique aux aneaux, c'est exactement la meme chose pour un quotient de "structures" ou d'objets en general.

Poncargues : tu as tout à fait raison ... mais je pense simplement que ton langage trop formel déstabilise probablement AnneDu60 ... qui reste collée à ses théorèmes sans en extraire la substantifique moelle ...

il est tout à fait clair et précis pour quelqu'un qui maitrise bien les notions de fonction et de structure d'ensemble et alors la notion de flèche que tu emploies  est alors très simple pour décrire le passage au quotient

J'utilise simplement fleche comme synonyme de morphisme ou d'application. C'est plus court à écrire.

Bon j'ai un peu de temps, je vais expliquer le truc en long en large et en travers. Mais je précise que lire mon explication ne sera pas fructueux si tu ne tentes pas de le refaire par toi meme et de t'en convaincre toi meme.

Donc dans toutes la suite les anneaux seront commutatifs (et unitaire) et j'utiliserai, sauf mention du contraire, les termes fleches, application, morphisme, morphisme d'anneaux de manière interchangeable pour dire toujours la meme chose : homomorphisme d'anneau (une application entre anneaux qui preserve l'unité et qui respecte le produit).

Le point que tu dois garder en tete est le suivant:
Soit A un anneau et I un ideal de A, alors il existe un anneau A/I, équippé d'une fleche (surjective) qui vérifie, et la propriété suivante, qu'on appelera (uni):
Pour tout anneau R et tout morphisme d'anneaux tel que f(I)=0 alors il existe une unique application notée tel que .

Cet anneau A/I est unique à isomorphisme unique prés. Cela veut dire que si et   verifient (uni) tous les deux  alors il existe un unique isomorphisme disons u de S sur T qui vérifie avec de A dans A/I définie par ou cl désigne la classe d'équivalence pour R.

On équipe A/I d'une structure d'anneau en définissant cl(a)+cl(b)=cl(a+b) et cl(a).cl(b)=cl(ab) et 1=cl(1).
Il faut vérifier que c'est bien défini (fais le!) et c'est ici qu'intverient le fait que I est un ideal, par exemple si on prend a' dans cl(a) et b' dans cl(b) il faut verifier que a'b' est dans cl(ab) pour que la définition ait un sens. Mais on a a'=a+i et b'=b+j pour i et j des elements de I par définition et donc a'b'=ab+ib+ja+ij=ab+un machin qui est dans I puisque celui ci est un ideal.

Ceci est donc bien défini et donc est clairement un morphisme d'anneau.

Maintenant si R est un anneau quelconque et qu'on a une fleche f:A->R qui tue I, c'est a dire telle que f(I)=0 alors on a une UNIQUE fleche que je vais noter g :A/I->R (je l'avais noté f bar plus haut mais c'est plus long à ecrire) tel que .

Il suffit de poser g(cl(x))=f(x)... on a pas le choix en fait et on voit pourquoi g est unique.
Il reste à verifier que cela définit bien g, autrement dit que si on prend y dans cl(x) alors g(cl(y))=g(cl(x)) (puisque cl(x)=cl(y), mais g(cl(x))-g(cl(y)=f(x)-f(y)=f(x-y)=0 car x et y sont dans la meme classe veut dire x-y est dans I et f(I)=0.
Verifier que g est un morphisme d'anneau est automatique (fais le!).

Bref, ce qu'il faut retenir c'est (uni). Je te montre dans le post d'apres comment prouver ton résultat et définir toutes les fleches que tu veux avec ca.

Je réécris, le tex a mangé une partie de mon texte.

Bon j'ai un peu de temps, je vais expliquer le truc en long en large et en travers. Mais je précise que lire mon explication ne sera pas fructueux si tu ne tentes pas de le refaire par toi meme et de t'en convaincre toi meme.

Donc dans toutes la suite les anneaux seront commutatifs (et unitaire) et j'utiliserai, sauf mention du contraire, les termes fleches, application, morphisme, morphisme d'anneaux de manière interchangeable pour dire toujours la meme chose : homomorphisme d'anneau (une application entre anneaux qui preserve l'unité et qui respecte le produit).

Le point que tu dois garder en tete est le suivant:
Soit A un anneau et I un ideal de A, alors il existe un anneau A/I, équippé d'une fleche (surjective) qui vérifie, et la propriété suivante, qu'on appelera (uni):
Pour tout anneau R et tout morphisme d'anneaux tel que f(I)=0 alors il existe une unique application notée tel que .

Cet anneau A/I est unique à isomorphisme unique prés. Cela veut dire que si et   verifient (uni) tous les deux  alors il existe un unique isomorphisme disons u de S sur T  avec

On peut définir A/I de la manière suivante, ensemblistement A/I n'est que les classes d'équivalences pour la relation R définie par aRb ssi a-b est un élément de I.

On a une application ensembliste que l'on va noter... de A dans A/I définie par ou cl désigne la classe d'équivalence pour R.

On équipe A/I d'une structure d'anneau en définissant cl(a)+cl(b)=cl(a+b) et cl(a).cl(b)=cl(ab) et 1=cl(1).
Il faut vérifier que c'est bien défini (fais le!) et c'est ici qu'intverient le fait que I est un ideal, par exemple si on prend a' dans cl(a) et b' dans cl(b) il faut verifier que a'b' est dans cl(ab) pour que la définition ait un sens. Mais on a a'=a+i et b'=b+j pour i et j des elements de I par définition et donc a'b'=ab+ib+ja+ij=ab+un machin qui est dans I puisque celui ci est un ideal.

Ceci est donc bien défini et donc est clairement un morphisme d'anneau.

Maintenant si R est un anneau quelconque et qu'on a une fleche f:A->R qui tue I, c'est a dire telle que f(I)=0 alors on a une UNIQUE fleche que je vais noter g :A/I->R (je l'avais noté f bar plus haut mais c'est plus long à ecrire) tel que .

Il suffit de poser g(cl(x))=f(x)... on a pas le choix en fait et on voit pourquoi g est unique.
Il reste à verifier que cela définit bien g, autrement dit que si on prend y dans cl(x) alors g(cl(y))=g(cl(x)) (puisque cl(x)=cl(y), mais g(cl(x))-g(cl(y)=f(x)-f(y)=f(x-y)=0 car x et y sont dans la meme classe veut dire x-y est dans I et f(I)=0.
Verifier que g est un morphisme d'anneau est automatique (fais le!).

Bref, ce qu'il faut retenir c'est (uni). Je te montre dans le post d'apres comment prouver ton résultat et définir toutes les fleches que tu veux avec ca.

Normalement tout cela doit etre dit, avec peut etre des differences de langages dans ton cours.

Donc voyons comment tu peux prouver ton truc.
Prend donc A un anneau (commutatif unitaire toujours) et a et b deux elements quelconques de A.
Tu as une application qui n'est juste que l'application de projection  \pi de passage au quotient par (a,b) que j'ai défini dans mon message précédent.

Bon, comme puisque a est dans ker pi_{a,b}. Tu en déduis une application que je fais noter f:A/(a)->A/(a,b).
Pour "comprendre" f il faut utiliser le fait que ou \pi_a désigne cette fois l'application de passage au quotient A->A/(a).

Par exemple b s'envoie sur que tu avais noté dans A/(a) et on peut se demander sur quoi ce s'envoie dans A/(a,b). Ben c'est facile c'est donc puisque par définition tue (a,b) donc en particulier b.

Tu en déduis toujours par (uni) une application , qui vérifie . Ca fait beaucoup de notations mais tout cela est assez clair en fait si tu visualises ce qu'il se passe.

Il est clair que g est surjective car f l'est. Et pourquoi f l'est? car l'est!

Pourquoi g est injective? Ben si  on prend un element de il s'ecrit par définition pour un x dans A (j'espere que tu comprend pourquoi on ne nomme pas toutes les applications ce devient vite penible, c'est bien plus rapide de suivre les fleches). Dire que c'est dire (en effet tu as donc ) donc x est dans (a,b).

Mais si x est dans (a,b) alors il va s'écrire au+bv et .

La seconde égalité vient de ce que tue (a) et la derniere vient de ce que tue .

Donc g est injective. Et donc g est un iso.

Bien sur ca fait beaucoup de texte, mais tout ceci est parfaitement évident et se voit en une seconde si tu suis les fleches sur un diagramme approprié.

Pour verifier que tu as bien compris constuit en utilisant (uni) une fleche et vérifie que cette fleche est l'inverse du g que j'ai constuit.

Comme dit plus haut, je t'encourage a regarder ce qu'il se passe en (5) en lieu et en place de (2), et tu peux aussi regarder ce qu'il se passe en (19), pour une situation encore differente.
Tu peux aussi te demander ce qu'il se passerait en 2 si pour alpha on avait simplement pris au lieu de .
Cet exercice est assez riche et permet de jouer avec plein de choses fondamentales dans un cas particulier.

Bonjour

Puisqu'on est en train d'essorer cet exo, je rappelle que c'est un exemple d'anneau principal non euclidien.

C'est pas tres tres facile à montrer qu'il est non euclidien à vrai dire.
Montrer qu'il est principal est plus facile.
Je ne sais pas si je saurai le faire de manière élémentaire cela dit.

On peut le faire de manière élémentaire. Je ferai un nouveau topic, sous forme d'exo, quand j'aurais retrouvé l'endroit où j'ai caché mes vieux énoncés!

Je pense qu'on peut étudier ce document

En effet, inutile que je me fatigue!