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Isomorphisme entre S(G) et G
Bonsoir les amis bon je bloque pour montrer que chaque groupe fin est isomorphe a un sous groupe de S(G) (le groupe de bijection de G vers G) j'ai pensé a ca
soit (X1,......................Xm) un système de générateur minimale de G
et soit H le sgpe de S(G) <(1;Xi)>U{idG} engendré donc par les permutations de types (1,Xi)
soit f:G
H
x=a1X1+........amXm(1,X1)^a1o.......o(1,Xm)^am si x#e
idG si x=e
si je ne me trempe pas c'est une application linéaire surjectif
il me reste a montrer que c'est injectif
mercii
Bonsoir,
Ce que tu écris dans ton titre est (généralement) faux ! En revanche, il est possible de construire un morphisme structurel de dans
en considérant une action particulière de
sur lui-même.
Vous voulez dire qu'on peut pas avoir un isomorphisme bon j'ai pas très bien saisi ce que vous venez de dire
1.Parler " d' application linéaire " quand on n'a que des groupes est assez curieux !
2.Si G est fini et si N est son cardinal , S(G) possède N! éléments .
On a rarement N! = N donc le titre de ton message , avec un point d'interrogation ,a pour réponse : non sauf si G a plus d'un élément .
3.Si (G,T) est un groupe et a est un de ses éléments on définit ta : x a Tx . C'est un élément de S(G) .
t : a ta est un morphisme injectif de groupe .
G et t(G) sont donc des groupes isomorphes.
Tiens une question :
G étant fini , quelle est la signature de ta ?
Bonjour,
Suite à mon message, il suffisait de penser à ce morphisme (structurel) de groupes
et de montrer sont injectivité pour conclure. Mais, il faut reconnaître que etniopal , que je salue au passage, s'est montré plus précis.
Salut ThierryPoma !
Une remarque :
Si a n'est pas le neutre de G , ta n'est pas un morphisme de groupe .
Par contre ua : x axa-1 en est un .
Et a ua permet d'identifier (en tant que groupes ) G à un sous-groupe de S(G) .
Concernant la question ( trop générale )de la signature de ta :
Prendre G = Sn ( n entier > 1) et pour a la transposition (1,2) .
Salut Etniopal,
Je le sais bien. est un morphisme de groupes. En effet, d'une part
est un groupe et
, pour tout
. D'autre part,
et
toutes les fois que et
appartiennent à
. Reste à prouver l'injectivité de
.
ThierryPoma
La remarque que j'ai faite ne s'adressais pas à toi .
Je sais bien que tu le savais bien !!
Merci etniopal ThierryPoma bon pour le titre je voulais dire un sgp de S(G) et je me suis perdu avec ce système générateur minimal que j'ai posé votre méthode est super mais je veux savoir s,juste une question, si je pose (x1,....xm) le système générateur tq m est pair et je définit
f(:G,+)
(H,o)
X=a1x1+......amXm(X1,X2)^(a1+a2)o.......o(Xm-1,Xm)^(am-1,am)
#j'ai posé un m pair
Ces transposition commutent et j'aurai f(x+y)=f(x)of(y)
Donc un morpjisme subjectif par construction c'est juste une question que je me suis posé quand je développait cet exo et je vous remercie énormément (j'aurais peut être jamais pensé à ca) merci encore une fois
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