au rang 1 c'est facile ( il y a égalité )
Pour montrer l'hérédité c'est pas trop évidnt
Quand on calcule u(n+1)-rac2, on trouve
1/2(u(n)²+2)/u(n)-rac(2)
soit 1/2(u(n)²-2rac(2)u(n)+2)/u(n)
soit pile 1/2*(u(n)-rac2)²/u(n)
En fait, la récurrence semble porter sur rac2 <u(n)<2, une fois prouvé
ceci ( ça marche bien ), on a u(n)>1 donc 1/u(n)<1
Donc 1/2*(u(n)-rac(2)/u(n)<1/2*(u(n)-rac2)²
Donc u(n+1)-rac2<1/2*(u(n)-rac2)².....

Supposons la proposition |U(n) - V2| <= (1/2)(U(n-1) - V2)² vraie
pour une certaine valeur k de n.

a)
Si U(k) > V2   (1)    ->
On a alors U(k) - V2 <= (1/2)(U(k-1) - V2)²
Montrons qu'elle est encore vraie pour n = k+1

U(k+1) - V2 <= ?  (1/2)(U(k+1-1) - V2)²
U(k+1) - V2 <= ?  (1/2)(U(k) - V2)²
(1/2).(U(k) + 2/U(k)) -V2  <=? (1/2)(U(k) - V2)²
(1/2).[(U(k) + 2/U(k)) -2V2]  <=? (1/2)(U(k) - V2)²
[(U(k) + 2/U(k)) -2V2]  <=? (U(k) - V2)²
(U(k))² + 2  -2V2.U(k)]/U(k)  <=? (U(k))² - 2V2.U(k) + 2
1/U(k) <=? 1
Comme U(k) > 0 ->
u(k) >=? 1
Toujours bon par   (1)
Donc la proposition est vraie si u(k) > V2 donc pour u(n) avec n >=1

Donc si la proposition U(n) - V2 <= (1/2)(U(n-1) - V2)² est vraie pour
une certaine valeur k de n, elle est encore vraie pour n = k + 1
si u(k)>v2.
Comme on a montré que u(k)>V2 pour k >=1, il suffit de montrer que la proposition
est vraie pour n = 1.
Elle sera alors vraie pour n = 1 + 1 = 2
Elle sera alors vraie pour pour n = 2 + 1 = 3.
Et ainsi de proche en proche elle sera vraie pour tout n de N*  (2)

Montrons que la proposition est vraie pour n = 1.

avec
U(0) = 1
U(1) = (1/2)(1 + 2) = 3/2 (qui est bien > V2)

U(1) - V2 <=? (1/2)(U(0) - V2)²

(3/2)-V2 <=? (1/2)(1 - V2)²
(3/2)-V2 <=? (1/2)(1 + 2 - 2V2)
(3/2)-V2 >=? (3/2)-V2
-> la proposition est vérifiée pour n = 1 et on a bien u(1) > V2

Et ainsi par (2), elle est vraie pour tout n de N*
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Vérifie, je n'ai rien relu.