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Justification avec une suite auxiliaire

Posté par
Lou0115 02-11-23 à 15:39

Bonjour, j'ai un peu de mal à finir mon DM de mathématiques, pouvez-vous m'aider ?

Soit (Un) la suite définie par U0= 5 et, pour tout entier naturel n, Un+1=(4Un−1)/(Un+ 2).

Soit la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par Vn=1/un−1.

a)  Démontrer que la suite (Vn) est arithmétique de raison1/3.
b)  Donner l'expression de Vn en fonction de n.
c)  En déduire l'expression de Un en fonction de n.
d)  Calculer alors, la limite de la suite (Un).

Mes recherches :

a) si Vn=1/un−1 alors Un=(1/Vn)+1 mais je ne suis pas sûr de ça
Ensuite je souhaite faire
Vn+1 = 1/Un+1 -1
Puis je remplace Un+1 par son expression ce qui me donne :
Vn+1 = 1/ (4Un-1)/(Un+2)-1
Ensuite je souhaite remplacer Un par son expression mais étant donné que je ne suis pas sûr de celle ci j'aurais besoin d'aide svp
Et pour les question b, c et d je pense savoir faire

Posté par
sanantonio312re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 15:47

Bonjour,
Tu devrais mieux utiliser les indices et les parenthèses.
Par exemple, comment comprendre Vn=1/un−1?
Ca peut être:
- Vn=1/un−1
- Vn=1/un−1 qui vaut aussi (1/un)−1
- Vn=1/(un−1)

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 15:53

Voici ce que j'ai fait ça devrait être plus clair 😅

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 15:54

  

Justification avec une suite auxiliaire

Posté par
sanantonio312re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 17:34

vn=1/(un-1)
En supposant bien sûr un1, tu peux écrire:
un-1=1/vn
Soit vn=1+1/vn en effet
Ensuite, pour répondre à la première question, tu dois montrer que vn+1-vn=1/3 ce que tu peux faire en évaluant tous les termes en fonction de un

Posté par
sanantonio312re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 17:52

Et sauf erreur de ma part, le résultat à trouver est que la raison vaut -1/3 et pas 1/3

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 18:33

sanantonio312 @ 02-11-2023 à 17:34

vn=1/(un-1)
En supposant bien sûr un1, tu peux écrire:
un-1=1/vn
Soit vn=1+1/vn en effet
Ensuite, pour répondre à la première question, tu dois montrer que vn+1-vn=1/3 ce que tu peux faire en évaluant tous les termes en fonction de un


Voici ce que j'ai essayé de faire mais je ne sais pas si cela est correct et je n'arrive pas à finir

Justification avec une suite auxiliaire

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 18:42

Bonjour,

en attendant le retour de  sanantonio312 que je salue

je ne comprends pas tes manipulations sur u alors que tu cherches la raison de la suite arithmétique sur v

tu pars de v_n=\dfrac{1}{u_n-1}

d'où v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}

tu remplaces u_{n+1}   par sa valeur et ensuite tu calcules v_{n+1}-v_{n}

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 19:22

Pirho Je dois faire ça, non ?

Justification avec une suite auxiliaire

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 19:30

a partir de "ensuite..." tu peux supprimer

il faut continuer à développer v_{n+1}   et ensuite tu calcules

v_{n+1}-v_n ce qui te donnera la raison de la suite arithmétique

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 20:13

Pirho

D'accord donc cela me donne ça ?

Justification avec une suite auxiliaire

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 20:44

tu t'es trompé en réduisant au même dénominateur

remarque importante:  tu devais  recopier tes calculs, tu vas te faire taper sur les doigts par les modérateurs

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 21:13

Pirho @ 02-11-2023 à 20:44

tu t'es trompé en réduisant au même dénominateur

remarque importante:  tu devais  recopier tes calculs, tu vas te faire taper sur les doigts par les modérateurs


Ah il faut que je mette des parenthèses et que je développe le - ??

Merci pour votre remarque, c'était pour que cela soit plus lisible pour vous car lorsque que je veux copier-coller mes calculs les barres de fractions "se transforment" en / et c'est beaucoup moins comprehensible

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 21:27

si tu réduis au même dénominateur  \dfrac{4u_n-1}{u_n+2}-1, que trouves-tu?

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 21:40

Oh je crois que j'ai trouvé (j'espère que c'est compréhensible)

(4Un-1)/(Un+2) -1 = (3Un-3)/(Un+2)

Donc cela donne :

Vn+1=1/(3Un-3)/(Un+2)
Ainsi Vn+1 = (Un+2)/(3Un-3)

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 21:47

oui donc v_{n+1}-v_n=?

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 22:24

Vn+1 - Vn = (Un+2)/(3Un-3) - 1 / (Un-1)
                       = (Un+2)(Un-1) - (3Un-3) / (3Un-3)(Un-1)
Je ne sais pas si c'est correct car je n'arrive pas à obtenir 1/3

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 22:33

ça ne va pas

v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+2}{3u_n-3}-\dfrac{1}{u_n-1}

v_{n+1}-v_n=\dfrac{(u_n+2)(u_n-1)-(3u_n-3)}{3(u_n-1)(u_n-1)}

continue!

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 22:34

en relisant, je vois que tu y étais presque

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:16

Je crois que je n'y arrive toujours pas
(Un+2)(Un-1)-(3Un-3) / 3 (Un-1)(Un-1)
=(Un+2)-(3Un-3) / 3(Un-1)
=Un+2 - 3Un +3 / 3(Un-1)
= -2Un+5 / 3(Un-1)

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:22

Lou0115 @ 02-11-2023 à 23:16

Je crois que je n'y arrive toujours pas
(Un+2)(Un-1)-(3Un-3) /(3 (Un-1)(Un-1) )
=(Un+2)-(3Un-3) / 3(Un-1)
=Un+2 - 3Un +3 / 3(Un-1)
= -2Un+5 / 3(Un-1)


(u_{n}+2)(u_n+1)=?

que penses-tu du dénominateur?

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:28

Pirho @ 02-11-2023 à 23:22

Lou0115 @ 02-11-2023 à 23:16

Je crois que je n'y arrive toujours pas
(Un+2)(Un-1)-(3Un-3) /(3 (Un-1)(Un-1) )
=(Un+2)-(3Un-3) / 3(Un-1)
=Un+2 - 3Un +3 / 3(Un-1)
= -2Un+5 / 3(Un-1)


(u_{n}+2)(u_n+1)=?

que penses-tu du dénominateur?


(Un+2)(Un+1) =Un²+3Un+2

Le dénominateur est égal à 3(Un-1)²

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:30

oups! erreur de ma part ,il faut lire

(u_{n}+2)(u_n\textcolor{red}{-}1)=?

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:31

désolé mais complète le numérateur  en tenant compte de mon erreur

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:36

Pirho @ 02-11-2023 à 23:30

oups! erreur de ma part ,il faut lire

(u_{n}+2)(u_n\textcolor{red}{-}1)=?


Donc (Un+2)(Un-1) = Un²+Un-2
Et (Un+2)(Un-1)-(3Un-3) = Un²+Un-2-3Un+3 =Un²-2Un+1

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:40

Oh je crois que c'est ENFIN bon !!
Un²-2Un+1 / 3 (Un²-2Un+1) = 1/3
Je vous remercie encore pour votre aide précieuse et merci encore d'avoir pris le temps de m'expliquer

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 02-11-23 à 23:41

allez cadeau!

v_{n+1}-v_n=\dfrac{(u_n-1)^2}{3(u_n-1)^2}=\dfrac{1}{3}

r=\dfrac{1}{3}

maintenant je dois quitter; bonne nuit

si tu continues l'exercice, tu peux mettre tes réponses et on verra demain

Posté par
Lou0115re : Justification avec une suite auxiliaire 03-11-23 à 14:24

C'est bon j'ai réussi à finir l'exercice merci encore !!

Posté par
Pirhore : Justification avec une suite auxiliaire 03-11-23 à 16:43

de rien, peut-être à la prochaine sur l'


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