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K-ev, morphisme, famille génératrice

Posté par stepitt (invité) 28-03-06 à 23:08

Bonjour je suis face à un problème sur les espaces vectoriels dont voici le début de l'énoncé:
Soit \alpha\in\mathbb{R} et f\alpha l'application de \mathbb{R^3} dans lui-même définie par :
f\alpha(x,y,z)=(x+z,x+y+2z,\alpha x+y+z)
Je dois montrer que f\alpha est un endomorphisme de \mathbb{R^3}. Je sais que cela revient à montrer qu'il s'agit d'une application linéaire de \mathbb{R^3} dans \mathbb{R^3} mais je bloque pour débuter... un peu d'aide serait la bienvenue, merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : K-ev, morphisme, famille génératrice 28-03-06 à 23:14

Bonsoir stepitt

Considère (x,y,z), (x',y',z') deux vecteurs de \Large{\mathbb{R}^{3}} et \Large{\lambda} un réel.
Il suffit de montrer l'égalité \Large{f_{a}(\lambda (x,y,z)+(x',y',z'))=\lambda f_{a}(x,y,z)+f_{a}(x',y',z')}

kaiser

Posté par stepitt (invité)re : K-ev, morphisme, famille génératrice 29-03-06 à 11:37

Merci à kaiser qui m'a permi de répondre à la première question qui m'était posée. Maintenant je dois déterminer en fonction de \alpha Imf_\alpha.
J'obtiens le système \{X=x+z\longrightarrow L1\\Y=x+y+2z\longrightarrow L2\\Z=\alpha x+y+z\longrightarrow L3
J'ai essayer L3-L2 mais je n'aboutis pas vraiment.
Si quelqu'un pouvait me donner la bonne combinaison ou la bonne substitution à faire ce serait sympa, merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : K-ev, morphisme, famille génératrice 29-03-06 à 22:20

Pour determiner \fbox{Imf_\alpha} il suffit de remarquer que:
\fbox{Imf_\alpha=f_\alpha(\mathbb{R}^3)=\{(x+z,x+y+2z,\alpha x+y+z)/(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}\\=\{x(1,1,\alpha)+y(0,1,1)+z(1,2,1)/(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\}\\=Vect(\underb{(1,1,\alpha)}_{u_1},\underb{(0,1,1)}_{u_2},\underb{(1,2,1)}_{u_3})}
(*)Si \fbox{\alpha=0} le systéme (u_1,u_2,u_3) est de rang 2 (u_1=u_3-u_2) (u_2,u_3) est une base de Imf_0
(*)Si \fbox{\alpha\neq0} le systéme (u_1,u_2,u_3) est libre Imf_\alpha=\mathbb{R}^3 ( f_\alpha est alors un automorphisme de \mathbb{R}^3 ).
Sauf erreurs

Posté par stepitt (invité)re : K-ev, morphisme, famille génératrice 30-03-06 à 18:55

Merci à elhor_abdelali pour son aide.
Je dois maintenant déterminer ker f\alpha
Je sais que (x,y,z)\in f\alpha\longleftrightarrow f\alpha(x,y,z)=(0,0,0)
J'obtiens le système suivant \{x+z=0\\x+y+2z=0\\\alpha x+y+z=0
Je dois poser un paramètre mais lequel?
J'ai poser x=t et je trouve\{z=-t\\y=2t-t\\y=t-\alpha t mais je vois que j'ai un problème si quelqu'un pouvais m'aider

Posté par stepitt (invité)re : K-ev, morphisme, famille génératrice 30-03-06 à 20:20

J'ai trouvé comme réponse \{x=0\\y=0\\z=0
donc comme famille génératrice ker f\alpha=Vect(0,0,0)
Est ce que quelqu'un pourrait me dire si c'est juste S.V.P?

Posté par
kaiser Moderateurre : K-ev, morphisme, famille génératrice 30-03-06 à 23:46

Bonsoir stepitt

Il me semble que ceci n'est vrai que si a est non nul.

Kaiser

Posté par stepitt (invité)re : K-ev, morphisme, famille génératrice 31-03-06 à 00:24

Merci Kaiser pour cette remarque
on me demande maintenant
Pour =0, est-ce que le noyau et l'image de f_0 sont des sous espaces vectoriels supplémentaires... je ne vois pas du tout comment le montrer, et un coup de main serait le bienvenu, merci

Posté par
kaiser Moderateurre : K-ev, morphisme, famille génératrice 31-03-06 à 23:03

Bonsoir setpit

Il faut commencer par déterminer une base du noyau et une base de l'image.

Kaiser


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