Niveau autre

Ker et Im

Posté par yamiaso (invité) 07-03-07 à 18:44

Bonjour, 2 petites questions :

- je dois montrer que dans un exo que $Ker(u+v-id)\neq{0}$
Je connais les matrices dans la base canonique de $R^2$ de u, v (et id bien sur) donc je sais que
U + V - I = $\array{2,c.cccBCCC$&1&2\\\hdash~1&{0}&{0}\\2&{1}&{0}$
Comment en déduire $Ker(u+v-id)\neq{0}$ ?

- autre question : comment déduire que $dim Im (v-id)\neq0$ en sachant que $v\neq id$ ?

Merci

Posté par ker et im 07-03-07 à 19:38

bonsoir,
cherches ker(U+V-id) et tu vas voir qu'il n'est pas réduit au vecteur nul
tu vas trouver ker(U+V-id)=vect<e₂>

Posté par yamiaso (invité)re : Ker et Im 07-03-07 à 19:42

Alors,
$x \in Ker (u+v+id) \\ \Longleftrightarrow (u+v+id)(x)=0$

je ne sais pas trop comment continuer

merci

Posté par ker et im 07-03-07 à 19:44

pour la deuxième question
si v est différent de l'identité v-id n'est pas l'application nulle donc il existe un vecteur x de R² tel que(v-id)(x)=a non nul d'où Im(v-id) ne se réduit pas au vecteur nul

Posté par ker et im 07-03-07 à 22:27

utilises la matrice A de (u+v-id)
AX =( 0 0 ) (x)
( 1 0 ) (y)

X est dans le noyau<=>AX=0 <=> 0x+0y=0 et x+0y=0 d'où x=0 et y réel quelconque le noyau est l'ensemble des vecteurs de la forme ye₂

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