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Ker & Im

Posté par Doe (invité) 09-05-06 à 10:45

Bonjour a tous,

Voici je n'ai pas pu terminer.
J'espère d'avoir un coup de main.

Soit E un espace vectoriel et v,u < L(E). Montrer que
Ker(v°u) = u(-1)(Ker v Im u)

où "u(-1)" - c'est "u" à la puissance "(-1)"

Bon au début on peut écrire que :

- Ker (v°u) = Ker (v(u(x)) = { u(x)<E \ (v(u(x))=0 }
Donc (v(u(x))=0
Peut-on écrire u(x)=v(-1)(0) ?

Puis

- Ker v -> v(x) = 0 -> ???
   Im u -> u(x)=y -> ???

et comment on fait pour l'intersection ?

Je vous remercie por votre participation

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ker & Im 09-05-06 à 12:19

Bonjour,

"Ker (v°u) = Ker (v(u(x))" est faux. Le Ker d'un élément (ton membre de droite) n'existe pas.

"Ker (v°u) = { u(x) < E \ (v(u(x))=0 }" est faux également.
Ker (v°u) = { x < E \ (v(u(x))=0 }

Pour montrer l'égalité des 2 ensembles, tu peux tenter la double inclusion.

Nicolas


Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ker & Im 09-05-06 à 12:34


Je note u^{-1}<B>=\{x\in E\; |\; u(x)\in B\}

On veut montrer que :
\fbox{Ker(v\circ u)=u^{-1}<Ker v\cap Im u>}

Procédons par double-inclusion

\fbox{\subset}
Soit x\in Ker(v\circ u). Alors v\circ u(x)=0
Donc u(x)\in Ker(v)
De plus, de toute évidence, u(x)\in Im u
Donc u(x)\in Ker v\cap Im u
Donc x\in u^{-1}<Ker v\cap Im u>

\fbox{\supset}
Soit x\in u^{-1}<Ker v\cap Im u>
Alors u(x)\in Ker v\cap Im u
Donc a fortiori u(x)\in Ker v
Donc v\circ u(x)=0
Donc x\in Ker(v\circ u)

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par Doe (invité)re : Ker & Im 09-05-06 à 20:05

Nicolas_75

Je vous remercie beaucoup pour votre réponse rapide qui est est parfaitement claire (comme dans un bouquin de maths)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Ker & Im 10-05-06 à 01:23

Je t'en prie.


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