Supp Kerf inter Imf = {0}
Montrons ke Kerf²=Kerf
On sait que Kerf est inclus dans Kerf²
Montrons que Kerf² est inclus dans Kerf
Soit x € Kerf²
f²(x)=0
On a donc f(x)€Imf et f(x)€Kerf
Donc f(x)=0
D'où x€Kerf
Si tu as compris essaye avec les autres.

Bonjour,

sauf si je raconte des bétises, Ker(f) et Im(f) ne sont en somme directe dans ces cas que si on est en dimension finie, auxquel cas l'exo n'est pas très intéressant.

Enfin, sauf erreurs ,

bret

j'ai compris cette inclusion , mais l'autre
f(x)=0 =f(f(x)) => f(0)=0
=> 0  appartient à Ker f  (normal)
mais apres , je ne vois pas cez que ca apporte

PS , j'ai mis p et q 2 projecteurs de E, mais il n'y a pas p et q

Je crois pas que tu aies bien compris
On a f²(x)=0=f(f(x))
Or par définition f(x) appartient à Imf
Et f(f(x))=0 donc f(x)€ Kerf
Or par supposition
Kerf inter Imf = {0}
On en déduit que f(x)=0
Donc x€Kerf

ben , là , je crois que j'ai compris
pour l'autre inclusion , je pense avoir trouvé , si vous pouviez verifier...

f(f(x))=f(x)=0 => f(x)=x et f et x appartiennent à kerf
Imf c'est f(x) soit c'est x d'apres la ligne de dessus
et il faudrait montrer que x = 0
Or f(f(x))=f(x)=0 => f(x)=x   donc , f(x)=x=0 soit l'intersection x est nulle


J'aurai une autre question
Dans un exo , on a p et q 2 projecteurs de E , K-ev
et si je ne me suis pas trompé , on a écrit que p(0)=0
pourquoi p(0)=0 ???
ceci n'est il pas valable que si on linéarité ?
or p etant un projecteur est un endomorphisme de E , mais on ne parle pas de linéarité.

Au cours de ce meme exercice , on a :
p*q + p*q*p=0
attention , je note * , mais il faut lire "rond" , mais on ne peut pas taper les ronds
ensuite , on compose par p , à droite -> c'est la mon probleme , comment peut on composer à droite ???
c'est à dire  p*q*p + q*p*p = 0

MERCI de votre aide

Oula j'ai pas bien compris.
Pour ce genre d'exercices la rédaction est primordiale pour que le lecteur comprenne.
Supposons Kerf=Kerf², montrons que Kerf inter Imf = {0}
Soit y€ Kerf inter Imf
Soit x€E / y=f(x)
On a f(y)=0=f²(x)
Or Kerf²=Kerf
Donc x€Kerf
D'où y=f(x)=0

Tu projettes sur un sev
Or 0 appartient à tout ev et donc en particulier à tout sev
D'où p(0)=0

Tu as poq + poqop = 0
=> poqop + poqopop = 0
Or p est un projecteur donc pop=p
D'où 2* poqop = 0

Ais-je bien répondu à tes questions ?

pourquoi p(0)=0 ???
ceci n'est il pas valable que si on linéarité ?
or p etant un projecteur est un endomorphisme de E , mais on ne parle pas de linéarité.

Par définition, un endomorphisme est une application linéaire d'un ev dans lui-mm !!!

C'est sur que si tu avais oublié ca, c'était très difficile comme exercice

A plus,

bret

merci beaucoup