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:*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*:

Posté par
infophile 18-10-07 à 20:50

Bonjour

Le programme de Khôlle de la semaine portée sur les courbes paramétrées...et on a eu de la géométrie dans l'espace

J'ai eu cet exercice, j'ai fait la méthode qui suit, le correcteur a trouvé ça bien, mais apparemment mon résultat final serait faux, où est-ce que j'ai fait une erreur ?

Citation :
Soit un triangle ABC équilatéral de côté a et G \,bar\, \{(A,2);(B,1);(C,1)\}.

Déterminer l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient 2MA^2+\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MA}.\vec{MC}=\frac{3}{2}a^2


Ecrivons 2\vec{MA}.\vec{MA}+\vec{MA}.\vec{MB}+\vec{MA}.\vec{MC}=\frac{3}{2}a^2

On factorise \vec{MA}.(2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC})=\frac{3}{2}a^2

Introduisons le point G dans le deuxième facteur :

\vec{MA}.(4\vec{MG}+\underb{2\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}}_{=\vec{0}})=\frac{3}{2}a^2

D'où \vec{MA}.\vec{MG}=\frac{3}{8}a^2

Introduisons alors le point G' \,bar \,\{(A,1);(G,1)\} il vient :

(\vec{MG'}+\vec{G'A}).(\vec{MG'}+\vec{G'G})=\frac{3}{8}a^2

Or \vec{G'G}=-\vec{G'A} ainsi on obtient une identité remarquable :

(\vec{MG'}+\vec{G'A}).(\vec{MG'}-\vec{G'A})=\frac{3}{8}a^2\Longleftrightarrow \fbox{MG'^2-G'A^2=\frac{3}{8}a^2}

Utilisons la relation de barycentre pour placer G :

2\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

On introduit le point A ce qui donne : 4\vec{GA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}

Soit encore \vec{AG}=\frac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC})

Par construction on a :

:*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l\'espace :*:

Puis AH^2=a^2-(\frac{a}{2})^2=\frac{3}{4}a^2 d'où AG=\frac{1}{2}AH=\frac{\sqrt{3}}{4}a

On en déduit AG'^2=\frac{1}{4}AG^2=\frac{3}{64}a^2

D'où finalement \fbox{MG'=\frac{\sqrt{27}}{8}a}

L'ensemble des points M est donc une sphère de centre G' et de rayon \frac{\sqrt{27}}{8}a

Posté par
gui_toure : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 18-10-07 à 21:28

Salut Kévin

Ton raisonnement me paraît correct, je regarderai les calculs quand je serai compétent

Bonne journée ?

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 16:27

Salut guitou

Oui bonne journée, c'est le week end

Et l'anglais s'est plutôt bien passer ^^ et toi ?

Posté par
lafol Moderateurre : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:11

Salut kévin
pour placer G, barycentre partiel : si A' = milieu de [BC], G = milieu de [AA']
(et médiane = hauteur car équilatéral)

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:12

Salut lafol

Euh, je l'ai placé correctement non ?

Posté par
mikayaoure : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:51

bonjour

d'abord, on voit que le point H est "racine évidente"

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:53

Salut mika

Posté par
mikayaoure : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:54

après, à partir de ton expression

( tu aurais pu aller plus vite en prenant des barycentres partiels à partir des milieux... )

on a donc G'M² = 3a²/8 + AG'² = 3a²/8 + (AH/4)² = 3a²/8 + ( aV3/8 )² = 3a²/8 + 3a²/64 = 27a²/64 = (3/4)².(aV3/2)²

G'M = trois quart de la hauteur

ce serait donc le cercle de centre G' et de rayon 3/4 de la hauteur passant donc par le point H, milieu de BC

A confirmer...

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 17:58

Oui mika c'est ce que j'ai trouvé, G'M² = 27a²/64 donc G'M = rac(27)/8 a.

Posté par
mikayaoure : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 18:02



si c'est dans l'espace, ce serait donc la sphère de centre G' et de rayon G'H, non ?

Posté par
mikayaoure : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 18:03

je pensais initialement à un cercle alors que toi, tu as pensé à la sphère...

alors, il y a peut-être une erreur de raisonnement quelquepart...

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 18:04

C'est ce que j'ai marqué

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 19-10-07 à 18:04

Vu qu'on est dans l'espace c'est une sphère non ?

Posté par
1 Schumi 1re : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 20-10-07 à 10:58

Eh ben, ça va faire mal à ma khôle de géo...

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 20-10-07 à 11:00

La semaine prochaine c'est les polaires, et après les coniques, de la cuisine comme dirait ma prof

Posté par
1 Schumi 1re : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 20-10-07 à 11:01

Nous on fait ça en fin d'année. Donc pour moi, il y a encore 15 jours de galère (les 15 jours de géo) et après c'est clâââââssse (on passe à l'analyse).

Posté par
infophilere : :*: [Khôlle n°4] Géométrie dans l'espace :*: 20-10-07 à 11:02

Ah oui ça sera mieux que la géo


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