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l'aire d'un "segment" de parabole

Posté par
flashy 02-11-06 à 20:14

Bonjour,

Voilà mon exo:
La parabole P de foyer F et de directrice D d'équation y=\frac{x^2}{2p} .
A et B sont deux points de P;les tangentes en A et B se coupent en Q. on a A(a;\frac{a^2}{2p}),B(b;\frac{b^2}{2p})et Q(\frac{a+b}{2};\frac{(a+b)^2}{8p}) avec a<b.

1) Déterminer l'aire A du triangle ABQ.
---j'ai voulu utiliser la formule de Heron, utilisant les mesures des trois cotés du triangles. Mais ça me donne une expression vraiment très compliquée! Peut-être qu'il y a une autre méthode plus simple.
2) Déterminer un équation de (AB)
--j'ai trouvé: y=\frac{a+b}{2p}x -\frac{ab}{2p} \\
3) Déterminer l'aire A' de la partie du plan délimitée par l'arc parabole \widehat{AB} et la corde [AB] en fonction de A.
---je trouve A'= A-\int\frac{1}{2p}x^2 (intégrale entre a et b)??
4) Quelle relation existe-t-il entre A et A'

Posté par
raymond Correcteurl'aire d'un "segment" de parabole 03-11-06 à 00:25

Bonsoir.
Soit T(A) la tangente en A.
J'ai calculé la distance de B à T(A) : h. Elle représente une hauteur du triangle.
Je ne garantis pas les calculs :
2$\textrm h = \frac{(a - b)^2}{2\sqrt{a^2 + p^2}}
Ensuite, j'ai calculé la mesure du côté associé à cette hauteur : AQ.
Les calculs sont plus douloureux. Je n'ai pas vérifié, cela donnerait :
2$\textrm AQ = \frac{|a - b|}{8p}\sqrt{16p^2 + (b+3a)^2}
Alors :
2$\textrm\scr{A} = \frac{h.AQ}{2}

Pour l'autre aire, bien plus simple :
2$\textrm\scr{A'} = \Bigint_{a}^{b}[\frac{a+b}{2p}x - \frac{ab}{2p} - \frac{x^2}{2p}]dx
Je trouve :
2$\textrm\scr{A'} = \frac{(b-a)^3}{12p}.

Encore une fois, je te donne ma méthode, les calculs ont été non vérifiés.

Cordialement RR.

Posté par
flashyre : l'aire d'un "segment" de parabole 11-11-06 à 15:58

Bonjour raymond,


Excusez moi mais je ne vous ai pas encore remercié.
Effectivement dans le cas de cet exercice, votre méthode a beaucoup mieux marchée non seuleument pour les questions que j'ai postées ici mais également pour la suite de mon exercice.
Merci encore.

Posté par
raymond Correcteurre : l'aire d'un "segment" de parabole 11-11-06 à 16:38

Bonjour flashy.
Heureux d'avoir pu t'aider. Simplement, je n'avais pas vérifié mes calculs (surtout pour AQ).
Qu'en est-il du vrai résultat ? Est-il conforme à ce que je te proposais ?
A plus sur l'île, cordialement RR.

Posté par
flashyre : l'aire d'un "segment" de parabole 02-12-06 à 17:32

bonjour,

enfaite en faisant les calculs, j'avais trouvé les même résultats que vous. Le prof viens de me rendre le DM corigé et effectivement mes résultats étaient les bons.
Cependant le prof m'a dit que les calculs étaient un peu long! Enfaite il a utilisé les determinants pour calculer les airs! par exemple le triangle AEB a pour aire \frac{1}{2}|Det(AB,AE)|=\frac{1}{2}|Det(AB,\frac{AI+AQ}{2})|=\frac{1}{4}|Det(AB,AQ)| où AB ,AE....sont des vecteurs. Mais je ne comprends pas pourquoi il fait cela? Pourquoi les déterminants?


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