Pardon, j'ai oublié de préciser que désigne un anneau commutatif unitaire.


pour la a), j'ai montré seulement que

Citation :
si est inversible, alors est un polynôme constant non nul.

Salut romu

juste poour la première question !

On prend P un élt inversible de A[X]. Donc il existe Q de A[X] tel que PQ=1

Puisque P et Q sont non nuls (car A intrègre) et deg(P)+deg(Q)=deg(PQ)=0 donc deg(P)=deg(Q)=O

P est donc constant non nul

Pour la réciproque, il est clair que les polynômes constants P(x)=a sont tous inversibles d'inverse P^-1(x)=a^-1

Bonjour

Pour la question a), effectivement il n'y a aucune raison que tous les polynômes constants soient inversibles, la seule chose que l'on peut dire est que tout polynôme constant est inversible.
Tu as bien recopié l'énoncé mot pour mot?
Si oui, c'est probablement une coquille dans l'énoncé.

Fractal

salut romu!

pour la b), on a fait dans un dm : la somme d'un nilpotent et d'un inversible est inversible dans tout anneau !
on montre avant que x nilpotent implique 1-x inversible.
puis si par exemple u est nilpotent et v inversible, on écrit et on a le résultat !

(alors j'ai reçu les infos concernant les mathématiques financières, il y a (paris I, M1 et M2) puis ceci (paris VI, M2) sur conseil de mon prof !)

Bonsoir,

Pour la b, je crois que tu peux te servir de la factorisation :
(je crois que c'est vrai...)

Critou

oki merci pour vos informations, je vais regarder ça.

Fractal, non j'ai bien recopié l'énoncé mais il y a souvent des erreurs dans le cours et dans les exos de mon prof d'algèbre.

Bonjour, je ne vois pas comment le fait que

a est nilpotent entraîne que 1-a est inversible.

salut romu,

alors il faut écrire :

pour un certain k.

Mais
D'ou .
On a bien l'inversibilité de .

ah oui d'accord, on utilise l'identité remarquabe, enfn c'est plutôt


.

Sinon pour le premier lien que tu m'as passé sur paris1, apparemment il n'est plus à jour, je pense qu'il faut plutôt aller sur cette page:


enfin merci pour toutes ces précisions H_aldnoer.

ok donc pour la suite de ce que tu as dit,

On considère inversible et nilpotent,

nilpotent => nilpotent => inversible.

,

comme et sont inversibles, leur produit aussi. Donc est inversible.

ok en fait la méthode de critou utilise les mêmes techniques.

c'est cela même !

oui c'est le bon lien effectivement, j'ai confondu les balises TeX et Url.
tiens moi au courant !!!

De mon côté, j'irai me renseigner quand la fac réouvrira ses portes, le climat est un peu tendu en ce moment, les gens sont nerveux.