Inscription / Connexion Nouveau Sujet
L'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe, démonstration
Bonjour
Je révise mes cours de sup, et il y a une démo que je n'ai pas comprise. Celle du théorème qui dit que si (G,*) est un groupe d'ordre n et H un sous-groupe de G, l'ordre de H divise celui de G.
On nous fait établir une relation d'équivalence R telle que, pour tous x et y de G,
xRy équivaut à xy-1 appartient à H. Jusque là c'est bon.
Puis, à toute classe d'équivalence, on fait correspondre un unique élément de H, là je n'ai pas compris lequel ni comment.
Ensuite, puisqu'il y a autant de classes d'équivalences que d'éléments de H, on en déduit que le cardinal de H divise celui de G. Je ne comprends pas pourquoi non plus.
Ce serait cool si quelqu'un pouvait m'expliquer, voire me proposer des alternatives à cette démonstration du théorème.
Merci !
Salut,
Comme je m'en souvenais plus exactement je te propose de jeter un coup d'oeil la dessus,c'est pas mal fait.
A plus tard sur l'ile.
Bonjour charmuzelle
Voilà une démonstration: Je reprends ta relation R. Soit a dans G fixé. Alors b est dans la classe de a si et seulement si bRa ou encore ssi ba-1
H. Ceci veut dire q'il existe h dans H tel que b=ah et cet h est unique (puisque ah=ah'
h=h'). La fonction h
ah est donc une bijection de H sur la classe de a, qui a donc autant d'éléments que H (et ceci est vrai pour toute classe). Comme les classes forment une partition, le nombre d'éléments de G est le produit du nombre d'éléments de H par le nombre des classes.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac