pour montrer que f(x) <= g(x), une bonne solution peut être d'étudier la fonction h(x) = g(x) - h(x), et de chercher son signe.

1)

g(x) = 1/(x+1) - ln(x+1) + ln(x)

g'(x) = -1/(x+1)² - 1/(x+1) + (1/x)
g'(x) = (-x-x²-x+(x+1)²)/(x.(x+1)²)
g'(x) = (-2x-x²+x²+2x+1)/(x.(x+1)²)
g'(x) = 1/(x.(x+1)²)

g'(x) > 0 pour x dans R+ -> g(x) est croissante.

g(x) = 1/(x+1) - ln(x+1) + ln(x)
g(x) = 1/(x+1) + ln(x/(1+x))
lim(x-> oo) g(x) = lim(x->oo) [1/(x+1) + ln(x/(1+x))] = 0 + ln(1) = 0

--> g(x) <= 0 sur R+
1/(x+1) - ln(x+1) + ln(x) <= 0 sur R+*

1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x) sur R+*

a fortiori:
1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x) pour x > 1  (1)
---
h(x) = ln(x+1) - ln x -  1/x
h'(x) = 1/(x+1) - (1/x) + (1/x²)
h'(x) = (x²-x²-x+x+1)/(x²(x+1))
h'(x) = 1/(x²(x+1))

h'(x) > 0 sur R+* -> h(x) est croissante sur R*+
lim(x -> oo) h(x) = lim(x-> oo) [ln((x+1)/x) - 1/x] = ln(1) - 0 = 0

--> h(x) <= 0 sur R+*
ln(x+1) - ln x -  1/x <= 0 sur R*+
ln(x+1) - ln x <=  1/x  sur R*+

a fortiori:
ln(x+1) - ln x <=  1/x  pour x > 1. (2)
---
(1) et (2) ->
1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x) <= 1/x
-----
2)
a)

Avec x = 1 ->
1/2 <= ln(2) - ln(1) <= 1/1
avec x = 2 ->
1/3 <= ln(3) - ln(2) <= 1/2
avec x = 3 ->
1/4 <= ln(4) - ln(3) <= 1/3
...
avec x = n ->
1/(n+1) <= ln(n+1) - ln(n) <= 1/n

En ajoutant ces inégalités membres à membres ->
(1/2 + (1/3) + (1/4) + ... +(1/(n+1)) <= -ln(1) + ln(n+1) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
(1/2 + (1/3) + (1/4) + ... +(1/(n+1)) <= ln(n+1) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
(1/2 + (1/3) + (1/4) + ... +(1/(n+1)) <= ln(n+1) <= 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

U(n+1) - 1 <= ln(n+1) <= U(n)
-----
b)
U(n+1) - 1 <= ln(n+1) <= U(n)
lim(n-> oo) [U(n+1) - 1] <= lim(n-> oo) ln(n+1) <= lim(n->oo) U(n)

lim(n-> oo) [U(n+1) - 1] <= oo <= lim(n->oo) U(n)

Cette expression n'a de sens que si la suite Un tend vers +oo
-----
Sauf distraction.  

merci beaucoup J-P !

je colle la suite qui est encore plus dur...


3. On note f la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par :

f(x)= 1/x - ln ( (x+1)/x ) .

a) Interprétez graphiquement le nombre C_n,
C_n = U_n-1 - ln n .

b) De l' encadrement obtenu à la question [1], déduisez que pour tout n 1 :
0 f(n) 1/n - 1/(n+1) .

c) Vérifier que pour tout n 2,
C_n = f(1) + f(2) + ... + f(n-1) .
Déduisez en que la suite (C_n) est croissante et que, pour tout n 2 :
f(1) < C_n < 1 - 1/n .

personne pour m' aider

3)
b)

A partir de:
1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x) <= 1/x

ln((x+1)/x) <= 1/x

ln((x+1)/x) - ln((x+1)/x)  <= (1/x) - ln((x+1)/x)

0  <= (1/x) - ln((x+1)/x)

0 <= f(x)    (1)
---
A partir de:
1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x) <= 1/x
1/(x+1) <= ln(x+1) - ln(x)
1/(x+1) - (1/x) <= ln(x+1) - ln(x) - (1/x)
1/(x+1) - (1/x) <= ln((x+1)/x) - (1/x)
-1/(x+1) + (1/x) >= -ln((x+1)/x) + (1/x)
-ln((x+1)/x) + (1/x) <= -1/(x+1) + (1/x)
(1/x) - ln((x+1)/x) <= (1/x) - (1/(x+1))
f(x) <= (1/x) - (1/(x+1))    (2)
---
(1) et (2) ->
0 <= f(x) <= (1/x) - (1/(x+1)) pour x >= 1

-> 0 <= f(n) <= (1/n) - (1/(n+1)) pour n >= 1
-----
c)
f(x)= 1/x - ln ( (x+1)/x )
f(x)= 1/x - ln(x+1) + ln(x)
->
f(1) = 1 - ln(2) + ln(1)
f(2) = 1/2 - ln(3) + ln(2)
f(3) = 1/3 - ln(4) + ln(3)
...
f(n-1)= (1/(n-1)) - ln(n) + ln(n-1)

On fait la somme des égalités membres à membre ->
f(1) + f(2)+f(3)+...+f(n-1) = 1 - ln(2) + ln(1) + 1/2 - ln(3) + ln(2) + 1/3 - ln(4) + ln(3) + ... + (1/(n-1)) - ln(n) + ln(n-1)  
f(1) + f(2)+f(3)+...+f(n-1) = 1 + 1/2  + 1/3 + ... + (1/(n-1)) - ln(n)

Or U(n-1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(n-1)  ->
f(1) + f(2)+f(3)+...+f(n-1) = U(n-1) - ln(n)
f(1) + f(2)+f(3)+...+f(n-1) = C(n)
---

0 <= f(n) <= (1/n) - (1/(n+1))
->
0 <= f(1) <= (1/1) - (1/2)
0 <= f(2) <= (1/2) - (1/3)
0 <= f(3) <= (1/3) - (1/4)
...
0 <= f(n-1) <= (1/(n-1)) - (1/n)

On fait la somme des inégalités membre à membre ->

0 <= f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1) <= 1 - (1/n)
0 <= C(n) <= 1 - (1/n)
---
On a montré avant que:
0 <= f(n)

Donc f1 < f(1)+ f(2) < f(1)+f(2)+f(3) < ... et donc la suite Cn est croissante.

et pour n >= 2, on a:

f(1) < C(n) < 1- (1/n)
-----
Sauf distraction.  

vraiment t' assure maitre J-P
encore merci