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La dérivation
Bonjour à tous!
J'ai un exercice de maths à effectuer et je rencontre quelques difficultés.. je vous remercie d'avance pour votre aide !
Voici l'énoncé:
Soit f la fonction définie sur 
par : f(x) = -x³ + 5x / x² + 3
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 1 cm.
Voici les questions:
1) Calculer f'(x)
J'ai fais cette question, je ne sais pas si c'est juste mais je donne mes résultats : On est sur une fonction du type u/v.
Donc pour avoir la dérivée, on utilise la formule u'v - v'u / v²
On a u(x) = -x³ + 5x
donc u'(x) = -3x² + 5
et v(x) = x² + 3
donc v'(x) = 2x
Donc f'(x) = (-3x² +5)(x² + 3) - 2x(-x³ + 5x) / (x² + 3)²
Ce qui donne -3x⁴ - 9x² + 5x² + 15 + 2x⁴ - 10x² / (x² + 3)² ?
= -1x⁴ - 14x² +15 / (x² + 3)² ?
2) Résoudre : -X² - 14X + 15 = 0 et factoriser l'expression -X² - 14X +15.
On pose X = x²
On a une équation du second degré en X
On peut calculer le discriminant delta
= b² - 4ac
= (-14)² - 4 x (-1) x 15
= 196 +60
= 256 = 16²
Le discriminant est donc positif, on a alors 2 racines pour X
On les calcule
X₁ = -b - 
/ 2a
= 14 - 16 / 2 x (-1) = -2 / -2 = 1
X₂ = -b + / 2a
= 14 + 16 / 2x (-1) = 30 / -2 = -15
Comme X = x² donc x² = 1 et x² = -15 --> pas de solution car carré jamais négatif donc S = {-1;1} car x = 1 ou x = -1.
Maintenant on factorise l'expression -X² - 14X + 15
Cela donnerait -X( X + 14) + 15 ? J'ai un doute...
3) En, déduire la forme factorisée de f'(x) (on pourra poser X = x²).
Etant donné que je ne suis pas certaine de ma dérivée de f(x) (question 1) je ne suis donc pas sur de la réponse à cette question..
Si on pose X = x² la dérivée qui est -1x⁴ - 14x² + 15 / (x² +3)² devient alors -X² - 14X +15 / (X +3)² ?
Et pour factoriser je ne sais pas comment m'y prendre..
4) Etudier les variations de f. Dresser son tableau de variations.
On peut commencer par définir l'ensemble de définition D de f
Pour cela on résout x²+3 = 0 ?
x² = -3
x = -3
D = sauf {-3} ?
Je ne sais pas trop comment m'y prendre pour cette question..
5) Soit T la tangente à C au point d'abscisse 0.
Calculer l'équation réduite de T.
On a la formule pour calculer l'équation réduite qui est je crois y = f'(a) (x-a) + f'(a)
6) Calculer les coordonnées des points d'intersection de C avec les axes du repère.
Merci d'avance pour votre aide et le temps que vous y accorderez.
Emma
bonjour,
peux tu preciser ton énoncé, stp, avec des parenthèses ?
quel est le numérateur, et quel est le dénominateur ?
Bonjour.. oui mais je n'arrive pas à poser le tout en fraction sur le site..
Le numérateur est -x³ +5x et le dénominateur est x² +3
il suffit d'ajouter des parenthèses :
f(x) = ( -x³ + 5x )/ (x² + 3) comme quand tu l'écris sur ta calculatrice.
pour ta dérivée, c'est OK, avec des parenthèses 
= (-x⁴ - 14x² +15) / (x² + 3)²
(j'ai enlevé le 1 devant x^4 ...)
2) Résoudre : -X² - 14X + 15 = 0 et factoriser l'expression -X² - 14X +15.
dans cette question, tu ne dois pas faire le changement de variable,
tu dois trouver X1 et X2.
je vérifie ton calcul et je reviens.
OK pour X1 = 1 et X2= -15
en cours tu as vu qu'un polynôme de la forme ax²+bx+c
peut se factoriser : a(x-x1)(x-x2)
applique ça ici
oui -(X-1)(X+15) (le -1 s'écrit juste -, et il s'agit de l'inconnue X).
à présent tu peux répondre à la question 3, n'est ce pas ?
Surement
On a donc (-X² - 14X +15) / (X +3)²
On pose X = x²
Le numérateur est le même que pour la question 2 donc la forme factorisé est aussi -(X-1)(X+15) ? Mais comme il y a un numérateur il faut aussi le factoriser ?
là, tu ne remplaces pas X par x² .... (les parenthèses, c'est très bien!)
là où tu as X, écris x² à la place.
NB : n'aies pas peur de dire des bêtises, tu ne risques rien
et tu devrais garder la forme factorisée que tu as trouvée :
(-X² - 14 X + 15) = -(X-1)(X+15)
alors f'(x) = ??
messages croisés ,
on va plutôt écrire
f'(x)= (- (x²-1)(x²+15) ) / (x²+3)²
OK ?
Q4) regarder le domaine de def, c'est une très bonne idée, mais tu te trompes.
x² + 3 = 0
x² = -3 ===> qu'en penses tu ? est ce que x² peut etre négatif ?
tu dois remplacer X par x² partout !
tu cherches à exprimer f'(x) , ta variable, c'est x, ça n'est plus X.
tu devrais écrire à chaque fois ce que tu exprimes : ici "f'(x) = ".
relis mon message de 15:44
f'(x)= (- (x²-1)(x²+15) ) / (x²+3)²
OK ?
Q4) regarder le domaine de def, c'est une très bonne idée, mais tu te trompes.
x² + 3 = 0
x² = -3 ===> qu'en penses tu ? est ce que x² peut etre négatif ?
Ah oui..
Ok donc f'(x)= (- (x²-1)(x²+15) ) / (x²+3)² est la forme factorisée de f(x) = (-x³ +5x) / (x² + 3).
4) non x² ne peut pas être négatif..
f'(x)= (- (x²-1)(x²+15) ) / (x²+3)² est la forme factorisée de f(x) = (-x³ +5x) / (x² + 3).
euh ...
f'(x)= (- (x²-1)(x²+15) ) / (x²+3)² est la forme factorisée de la dérivée de f(x) = (-x³ +5x) / (x² + 3).
4) d'accord, x² ne peut pas etre négatif donc la suite de tes réponses à cette question est fausse.
le dénominateur ne s'annule jamais.
Pour étudier les variations de f(x), on étudie le signe de sa dérivée.
que penses tu du signe de (x²+3)² ?
et du signe de (x²+15) ?
x²+3=0 n'a pas de solution puisque x²=-3 est impossible.
x²+3 ne s'annule jamais.
f(x) est définie sur R.
Ah oui d'accord.
Donc D =
Maintenant on étudie le signe de la dérivée f'(x), on étudie le signe de sa forme développée ou factorisée ?
avec la forme développée, tu saurais le faire ? non (moi non plus )
avec la forme factorisée, tu sauras le faire ? oui (moi aussi ).
donc ....
reprends mon message de 16:09
que penses tu du signe de (x²+3)² ?
et du signe de (x²+15) ?
Oui !
que penses tu du signe de (x²+3)² ?
et du signe de (x²+15) ?
le signe de (x²+3)² est positif car un carré est toujours positif
Le signe de (x²+15) est aussi positif ?
oui (x²+3)² est toujours positif, c'est juste.
x²+15 est aussi toujours positif puisque x²+15=0 est impossible
(tu peux te dire aussi x² positif, et tu y ajoutes 15, donc tu auras toujours du positif).
ainsi f'(x) a le même signe que -(x²-1)
tu peux donc étudier le signe de f'(x) plus facilement en étudiant le signe de -(x²-1).
vas y !!
Pour étudier son signe il faut résoudre -x²-1 = 0 ?
Si oui le signe de -(x²-1) est lui aussi toujours positif non ?
Puisque -x²-1 = 0 donne -x² = 1 donc x² = -1 ce qui n'est pas possible
là, emmaa2, je t'ai perdue !
d'abord, tu oublies des parenthèses.
il s'agit de -(x²-1) et non de -x²-1 !!
ensuite x²-1 = 0 a deux solutions.. lesquelles ?
(tu peux utiliser une identité remarquable, ou poser x² = 1.. etc).
Je ne comprend plus..
On étudie le signe de -(x²-1) mais comment alors ? Je ne comprend pas... j'ai du mal
oui, tu dois étudier le signe de -(x²-1).
Pour ça, tu regardes quand -(x²-1) = 0 , tu es d'accord ?
-(x²-1) = 0 équivaut à (x²-1) = 0 (tout comme -2(x-4)=0 t'amène à (x-4) = 0 car -2=0 est impossible)
x²-1=0 tu sais résoudre en appliquant l'identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b)
oui, x²-1 = 0 s'annule pour x=1 et pour x=-1
tu peux donc faire le tableau de signes comme c'est plus clair pour toi.
rappel, : au final tu dois donner le signe de -(x²-1)
mmhh..
pourquoi une double barre sur x=1 et x=-1 ? ce ne sont pas des valeurs interdites.
un tableau de signes : je pense que tu as dû en faire en seconde.
x varie de -oo à +oo en passant par -1 et 1
une ligne pour signe de (x²-1) : négatif entre les racines, positif en dehors des racines, nul sur les racines.
une ligne en dessous pour le signe de -(x²-1), qui donne le signe de f'(x)
en dessous, tu pourras en déduire les variations de f(x).
vas y, lance toi.
Juste, pourquoi on étudie le signe de (x²-1) et aussi celui de -(x²-1) ?
Voilà j'ai tenté, je ne sais pas si c'est cela.
Quand vous dites une ligne pour signe de (x²-1) : négatif entre les racines, positif en dehors des racines, nul sur les racines.
une ligne en dessous pour le signe de -(x²-1), qui donne le signe de f'(x)
Pour (x²-1) on regarde le signe de a pour savoir négatif entre les racines etc ?
PDF - 78 Ko
Donc d'après le signe de -(x²-1) , f(x) est d'abord décroissante, croissante puis de nouveau croissante ?
ton tableau est correct, je l'ai repris, tu as juste à ajouter maintenant les variations de f(x).
pourquoi on étudie le signe de (x²-1) et aussi celui de -(x²-1) ?
la question est "etudier les variations de f(x)".
Pour faire ça, on étudie le signe de sa dérivée ; on veut étudier le signe de f'(x) = -(x²-1)(x²+15)/(x²+3)²
on peut faire un mega tableau de signes avec tous les facteurs, mais (x²+15) et (x²+3)² sont toujours positifs, donc il y aura des + partout, ça ne changera rien au signe de f'(x).
Il suffit d'étudier le signe de -(x²-1).
pour ça, je t'ai proposé de regarder le signe de x²-1, ensuite, il est facile de déduire le signe de -(x²-1).
On en est là.
Il te reste à écrire les variations de f(x) dans le tableau, et de calculer f(-1) et f(1) pour les mettre dans le tableau.
Donc d'après le signe de -(x²-1) , f(x) est d'abord décroissante, croissante puis de nouveau croissante ?
OUI !
Q5 :
tu as raison, ton cours dit que l'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y = f'(a)(x-a) + f(a)
dans ton sujet a=0
ca donne y = ??????
Ok merci beaucoup pour l'explication.
Je calcule les images f(-1) et f(1)
f(-1) = -(-1)³ + 5 x 1
= 6
f(1) = -(1)³ + 5 x 1
= 4 ?
Ah il faut aussi diviser par le dénominateur après ?
Je refais
f(-1) = -(-1)³ + 5 x (-1) / 1² + 3
ce qui donne -4 / 4 = -1
f(1) = -(1)³ + 5 x 1 / 1² + 3
ce qui donne 4 / 4 = 1
Ah il faut aussi diviser par le dénominateur après ?
bien sur
f(x) = (-x^3 + 5x) / (x²+3) pourquoi tu ne prendrais pas le dénominateur pour calculer f(1) ?
Q5 :
tu as raison, ton cours dit que l'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit y = f'(a)(x-a) + f(a)
dans ton sujet a=0
ca donne y = ??????
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