Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

la fonction exponentielle

Posté par phoenix (invité) 31-12-04 à 16:47

Bonjour,
je bloque complètement sur un exercice
il s'agit ici de restitution organisée des connaissances
je n'y arrive pas
si quelqu'un pouvait m'aider !?
voici l'énnoncé:

Prérequis: la fonction exponentielle, notée exp, a les 3 propriétés suivantes:
1) exp est une fonction dérivable sur
2) sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout nombre réel x,
exp'(x)= exp(x)

3) exp(0)= 1

En utilisant que ces 3 propriétés de la fonction exp, demontrer successivement que:
_ pour tout nombre réelx, exp(x) exp(-x)= 1
_ pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, exp(a+b)= exp(a) exp(b)
voilà

merci d'avance !

Posté par
Belge-FDLEre : la fonction exponentielle 31-12-04 à 17:31

Salut phoenix ,

Je vais tout d'abord tenter de t'aider pour le premier :

Remarque : Le langage LaTeX ne m'a pas laisser écrire exp(x) et a tout remplacer par e(x).

Démontrons que pour tout réel x, on a bien :  2$\rm~exp(x)\times~exp(-x)~=~1

Pour cela, considérons la fonction g définie sur l'ensemble des réels par :

2$\rm~g(x)~=~exp(x)\times~exp(-x)

g est dérivable sur R comme produits de fonctions dérivables sur R, et on a :

2$\rm~g~=~u.v   ie   2$\rm~g~=~u'.v~+~v'.u

avec   2$\rm~u(x)~=~exp(x)  ie  2$\rm~u'(x)~=~exp(x)
              2$\rm~u(x)~=~exp(-x)  ie  2$\rm~u'(x)~=~-exp(-x)   (dérivation d fonction composée)

On a donc :

2$\rm~{g'(x)~=~exp(x)exp(-x)~-~exp(x)exp(-x)}
d'où  2$\rm~g'(x)~=~0

Conclusion : g est constante sur R.

De plus, on a :

2$\rm~g(0)~=~exp(0)\times~exp(0)~=~1\times1~=~1

Conclusion Générale : g étant constante, et g(0)=1, on a bien pour tout x réel :  2$\rm~exp(x)\times~exp(-x)~=~1


Voili, voilou .
Si tu as une question, n'hésite pas.
Je réfléchis au second .

À +

Posté par phoenix (invité)re : la fonction exponentielle 01-01-05 à 16:07

merci beaucoup Belge-FDLE, jusque là j'ai compris  

si on pouvait également m'aider pour l'autre demonstration !?
merci...

Posté par phoenix (invité)re : la fonction exponentielle 01-01-05 à 18:32

ne m'oubliez pas SVP !!!

Posté par
Belge-FDLEre : la fonction exponentielle 01-01-05 à 18:46

Re-Salut phoenix ,

et bonne année 2005 !!!! .

Alors pour la deuxième démonstration, ce qui me gêne un peu, c'est que je vois bien une méthode, sauf que j'ai besoin pour cela, de la propriété de "l'unicité de la fonction exponentielle" alors qu'on ne te la donne pas en pré-requis. Je vais donc faire deux démonstrations, la première étant celle de "l'unicité de l'exponentielle", et la seconde, celle qu'on te demande dans l'énoncé.
Libre à toi par la suite, de décider de supprimer la première ou non .

Unicité de la fonction exp()

Soit f une fonction définie sur R par :
2$\rm~\{{f(0)~=~1\\f'=f}

On considère la fonction g définie sur R par :
2$\rm~g(x)~=~\frac{f(x)}{e^x}

g est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables sur R et on a :
2$\rm~g~=~\frac{f}{e}  ie  2$\rm~g'~=~\frac{f'e-e'f}{e^2}

On a donc :
2$\rm~g'(x)~=~\frac{f'(x)e^x-(e^x)'f(x)}{(e^x)^2}
Or, on sait que :  2$\rm~(e^x)'=e^x  et par hypothèse,  2$\rm~f'(x)=f(x)

On obtient donc :
2$\rm~g'(x)~=~\frac{f(x)e^x-e^xf(x)}{(e^x)^2}~=~0

Ce qui traduit que la fonction g est constante sur R. De plus on a :
2$\rm~g(0)~=~\frac{f(0)}{e^0}~=~\frac{1}{1}~=~1

Ainsi, pour tout x réel, on a :
2$\rm~g(x)~=~1
d'où  2$\rm~\frac{f(x)}{e^x}~=~1
donc  2$\rm~f(x)~=~e^x

Conclusion : Toute fonction f définie par  2$\rm~\{{f(0)~=~1\\f'=f}  est la fonction exponentielle.


exp(a+b)=exp(a)*exp(b)

Soit a un nombre réel. On considère la fonction h définie par :
2$\rm~h(x)~=~\frac{e^{x+a}}{e^a}

Il faut tout d'abord remarquer que comme a est une constante, exp(a), l'est aussi.
h est dérivable sur R comme composée de fonction dérivable sur R et on a :

2$\rm~h~=~k.uov  ie  2$\rm~h'(x)~=~k.v'.u'ov

avec  2$\rm~k~=~\frac{1}{e^a}
          2$\rm~u(x)~=~e^x  ie  2$\rm~u'(x)~=~e^x
          2$\rm~v(x)~=~x+a  ie  2$\rm~u'(x)~=~1

On obtient donc :

2$\rm~h'(x)~=~\frac{1}{e^a}\times~1\times~e^{x+a}
2$\rm~h'(x)~=~\frac{e^{x+a}}{e^a}
2$\begin{tabular}{|c|}\hline~\rm~h'(x)~=~h(x)\\\hline\end{tabular}

De plus :
2$\rm~h(0)~=~\frac{e^{0+a}}{e^a}~=~1

On a donc :
2$\rm~\{{h(0)~=~1\\h'=h}
d'où  2$\rm~h(x)~=~e^x

Or :
2$\rm~h(x)~=~\frac{e^{x+a}}{e^a}
d'où  2$\rm~e^x~=~\frac{e^{x+a}}{e^a}
donc  2$\rm~e^x\times~e^a~=~e^{x+a}

3$C.Q.F.D.


Voili, voilou .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par phoenix (invité)re : la fonction exponentielle 01-01-05 à 21:21

merci beaucoup pour ton aide Belge-FDLE !!!

et B
et Bonne Année


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !