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La fonction exponentielle
Voici mon D.M de mathématiques, malheureusement je suis bloqué.
Voici mon sujet,
Partie A :
On cherche une fonction y dérivable sur 
vérifiant y' = -0.05y et y(0) = 87.7.
Posons pour tout réél t, 
(t) = y(t)e0.05t.
1. Pourquoi est-elle dérivable sur ? Calculer '(t).
(t) est dérivable sur en tant que produit de fonctions dérivables sur , et 
t
.
'(t) = e0.05t+y(t)0.05e0.05t
-(e0.05t/e0.05t)(t )= 0.05y(t)
y' = -0.05y
2. En déduire l'expression de y(t) en fonction de t.
(Je n'y suis pas arrivé) 
Partie B :
1. Un capteur solaire récupère la chaleur par le biais d'un fluide constitué de particules qui acheminent l'énergie vers un ballon. On s'intéresse à l'évolution de la température du fluide dans un capteur de longueur 1m. On modélise cette température en posant : f(x) = 170-150e-0.6x où x [0;1] est la distance (en m) parcourue par le fluide depuis son entrée dans le capteur et f(x) sa température (en °C).
a. Montrer que f est strictement croissante sur [0;1].
f'(x)=-150*-0.6e-0.6x
f'(x) = 90e-0.6x
| x | 0 | 1 | |
| f'(x) | + | ||
| f(x) | 20 | croissant | 87.7 |
f(x) est donc bien strictement croissant sur [0;1]
b. Calculer la température du fluide à la sortie du capteur, à 0.1°C près.
La température maximale atteinte par le fluide est de 87.7°C (à 0.1°C près).
2.Après sa sortie du capteur, le fluide est conduit jusqu'au ballon d'eau chaude à travers un tuyau. On modélise alors la température du fluide en posant : g(t) = 87.7e-0.05t où t
0 est la distance (en m) parcourue par le fluide depuis son entrée dans le tuyau et g(t) est sa température (en°C).
On souhaite récupérer une eau à 65°C : quelle doit être la longueur du tuyau pour que le fluide ait une température de 65°C à son arrivée dans le ballon ? Donner une réponse à 1cm près.
Pour g(t) = 65
65 = 87.7e-0.05t
(65/87.7) = e-0.05t
0.74 = e-0.05t
ln(0.74) = -0.05t
-0.30 = -0.05t
(-0.30/-0.05) = t
t = 6
Il faut alors un tuyau de 6m pour obtenir un fluide à 65°C.
Merci de me dire si mes réponses sont cohérentes et justes.
Bonjour,
Partie A :
1) Ton calcul est faux !!
Tu as oublié y'(t) lors du calcul de ta dérivée...
On a :
Or y' = -0.05y. Ainsi :
Ainsi : .
2) D'après 1, comme , on a donc :
(où C est une constante réelle)
Ainsi : .
Et par conséquent : (avec C une constante réelle)
Partie B :
1a) et 1b) OK.
2) Ton résultat est faux car tu n'as pas gardé les valeurs exactes mais des valeurs approchées lors de ton calcul ! De plus c'est un résultat au cm près, pas au m près...
C'est pour cela, lors de ton calcul gardes cependant les valeurs exactes puis seulement à la fin tu arrondis ton résultat au cm près.
Tu as donc après calculs :
.
Soit encore 5.99 cm arrondi au cm près !
Ah aussi, un dernier point que j'ai omis :
A la question 2 de la partie A :
J'ai oublié de rajouter la condition initiale y(0)=87.7 donnée dans l'énoncé !!
On a donc trouvé : y(t) = Ce-0.05t.
En rajoutant cette condition, cela nous permet de trouver la valeur de la constante C !!
Et ça je te laisse le soin de faire le calcul, ce qui n'est pas trop difficile à faire...
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