Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

La fonction exponentielle

Posté par
tagstyle01
20-11-16 à 12:25

Voici mon D.M de mathématiques, malheureusement je suis bloqué.

Voici mon sujet,

Partie A :

On cherche une fonction y dérivable sur vérifiant y' = -0.05y et y(0) = 87.7.
Posons pour tout réél t, (t) = y(t)e0.05t.

1. Pourquoi est-elle dérivable sur ? Calculer '(t).

(t) est dérivable sur en tant que produit de fonctions dérivables sur , et t.

'(t) = e0.05t+y(t)0.05e0.05t
-(e0.05t/e0.05t)(t )= 0.05y(t)
y' = -0.05y

2. En déduire l'expression de y(t) en fonction de t.

(Je n'y suis pas arrivé)

Partie B :

1. Un capteur solaire récupère la chaleur par le biais d'un fluide constitué de particules qui acheminent l'énergie vers un ballon. On s'intéresse à l'évolution de la température du fluide dans un capteur de longueur 1m. On modélise cette température en posant : f(x) = 170-150e-0.6x où x [0;1] est la distance (en m) parcourue par le fluide depuis son entrée dans le capteur et f(x) sa température (en °C).

a. Montrer que f est strictement croissante sur [0;1].

f'(x)=-150*-0.6e-0.6x
f'(x) = 90e-0.6x

x01
f'(x)+
f(x)20croissant87.7


f(x) est donc bien strictement croissant sur [0;1]

b. Calculer la température du fluide à la sortie du capteur, à 0.1°C près.

La température maximale atteinte par le fluide est de 87.7°C (à 0.1°C près).

2.Après sa sortie du capteur, le fluide est conduit jusqu'au ballon d'eau chaude à travers un tuyau. On modélise alors la température du fluide en posant : g(t) = 87.7e-0.05t où t 0 est la distance (en m) parcourue par le fluide depuis son entrée dans le tuyau et g(t) est sa température (en°C).
On souhaite récupérer une eau à 65°C : quelle doit être la longueur du tuyau pour que le fluide ait une température de 65°C à son arrivée dans le ballon ? Donner une réponse à 1cm près.

Pour g(t) = 65

65 = 87.7e-0.05t
(65/87.7) = e-0.05t
0.74 = e-0.05t
ln(0.74) = -0.05t
-0.30 = -0.05t
(-0.30/-0.05) = t
t = 6

Il faut alors un tuyau de 6m pour obtenir un fluide à 65°C.


Merci de me dire si mes réponses sont cohérentes et justes.

Posté par
fenamat84
re : La fonction exponentielle 20-11-16 à 13:27

Bonjour,

Partie A :

1) Ton calcul est faux !!
Tu as oublié y'(t) lors du calcul de ta dérivée...

On a  : \theta'(t)=y'(t)e^{0.05t}+0.05y(t)e^{0.05t}

Or y' = -0.05y. Ainsi :

\theta'(t)=-0.05y(t)e^{0.05t}+0.05y(t)e^{0.05t}=0

Ainsi : \theta'(t)=0.

2) D'après 1, comme \theta'(t)=0, on a donc :

\theta(t)=C (où C est une constante réelle)

Ainsi : \theta(t)=y(t)e^{0.05t}=C.

Et par conséquent : y(t)=\frac{C}{e^{0.05t}}=Ce^{-0.05t} (avec C une constante réelle)

Partie B :

1a) et 1b) OK.

2) Ton résultat est faux car tu n'as pas gardé les valeurs exactes mais des valeurs approchées lors de ton calcul ! De plus c'est un résultat au cm près, pas au m près...
C'est pour cela, lors de ton calcul gardes cependant les valeurs exactes puis seulement à la fin tu arrondis ton résultat au cm près.

Tu as donc après calculs :

t=\frac{ln(65/87.7)}{-0.05} \approx 5.9907.

Soit encore 5.99 cm arrondi au cm près !

Posté par
tagstyle01
re : La fonction exponentielle 20-11-16 à 13:55

Merci beaucoup de votre aide si rapide.

Posté par
fenamat84
re : La fonction exponentielle 20-11-16 à 14:43

Ah aussi, un dernier point que j'ai omis :

A la question 2 de la partie A :

J'ai oublié de rajouter la condition initiale y(0)=87.7 donnée dans l'énoncé !!

On a donc trouvé : y(t) = Ce-0.05t.
En rajoutant cette condition, cela nous permet de trouver la valeur de la constante C !!
Et ça je te laisse le soin de faire le calcul, ce qui n'est pas trop difficile à faire...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !