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la fonction indicateur φ d'Euler
soit Soit n ∈ N*. On définit φ(n) comme le nombre d'entiers compris ( ausens large) entre 1 et n-1 et premier avec n.
1.Démontrer que pour tout n ∈ N*, 1≤φ(n)≤n-1.
2.Calculer φ(n) pour 2≤n≤12
3.Démontrer que, si p est un nombre premier, alors φ(p)=p-1
4.démontrer que, si p est un nombre premier, alors φ(p²)=p²-1(p-1)=p(p-1)
il y a encore des questions après.
pour le 1 ça me parait tellement évident que je ne sais pas comment démontrer par des calculs.
le 2 et le 3 je les ai fait, mais le 4 je n'arrive pas.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait? Merci
bonsoir,
1) la définition n'est pas claire ?
4) p, 2p, 3p ...., (p-2)p et (p-1)*p ne sont pas premiers avec p^2 et ce sont les seuls.
il y en a exactement p-1
ainsi on a bien p^2-1-(p-1) entiers conpris entre 1 et p^2-1 premiers avec p^2.
sauf erreur
Merci pour la question 4.
pour la 1ere question c'est l'hypothese que l'ennoncé nous a donnée, je vois pas pourquoi il nous demande de démontrer. Et puis c'est évident que 1≤φ(n)≤n-1 puisque φ(n) est le nombre d'entiers plus petit et premier avec n, donc forcément φ(n)≤n-1.
la question 5 je l'ai faite.
question 6:
a) démontrer que le, pour tout a ∈ N*
pgcd (a,n)=1
pgcd (a,m)=1 équivaut à pdcd (a,nm)=1
cette kestion je l'ai faite, mais j'arrive pas à faire le b, voici la question.
b) On note U1,U2,...Uφ(n) tous les entiers naturels (compris au sens large entre 1 et n-1) premiers avecn, et on note V1,V2..Vφ(m) tous les entiers naturels (compris au sens large entre 1 et m-1) premiers avec m.
Montrer alors que tous les entiers naturels compris au sens large entre 1 et nm-1 et premiers avec nm, sont les entiers UiVj avec : 1≤ i ≤ φ(n) et 1≤ j ≤ φ(m).
il faut:
vérifier que les sont effectivement premiers avec mn (ça c'est direct vu la question précédente) mais il faut en outre montrer que tous les entiers premiers avec mn sont de la forme
:pour cette partie je n'ai pas de réponse claire .
si quelqu'un pourrait poursuivre car les jours à venir vont être chargés...
mais pour moi UiVj premiers avec mn n'est pas su direct.
On a:
Ui^n=1
Vj^m=1
n^m=1
d'apres le a on a
Uim^n=1 et Vjn^m=1 et après je sais pas quoi faire. J'ai utilisé le théorème de Bezout avec un coupe, mais je trouve pas que UiVj^mn=1
Si seulement quelqu'un pouvait m'aider....
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