bonjour

pour le 2) un contre exemple n=1 ou n=2

vérifies ton énoncé...

Philoux

B'soir...


Philoux??? Ca m'a l'air de marcher le 2, a moi...


1/
Ca a l'air complique, il faut juste appliquer la definition.
A savoir, la premiere des fameuses "questions precedentes".

E(x) est en effet definie par l'unique entier p qui verifie
p x < p+1

(attention, j'utilise V pourla racine dans la suite)

Il se trouve que (2+V3)^n + (2-V3)^n est un entier. Notons le Pn. A toi de verifier ca, en appliquant deux fois le binome de Newton par exemple. Certains termes s'eliminent.

Il est facile de verifier que cet entier est strictement superieur a (2+V3)^n. car (2-V3)^n est strictement positif.

De plus, (Pn - 1) est necessairement plus petit que (2+V3)^n. En effet, (2-V3)^n -1 est negatif, car (2-V3) est plus petit que 1.

Il s'ensuit qu'on peut encadrer (2+V3)^n comme suit:

Pn - 1 (2+V3)^n < Pn

et donc Pn -1 est la partie entiere de (2+V3)^n



2/
Merci le binome de Newton.
Developpe (2+V3)^n + (2-V3)^n. Tu devrais voir facilement que cet entier est pair.
Si j'enleve 1...


A+
biondo

bonjour biondo

peu habitué avec la formulation "[ ]" pour "partie entière" (j'utilise "E()" ), j'avais pris ces crochets pour des parenthèses...

Merci

Philoux

bonjours,

merci biondo j'ai compris! Par contre je n'arrive pas à démontrer que
(2+V3)^n + (2-V3)^n est un entier !
j'ai essayer avec le binome de Newton mais je n'y arrive pas!

en fait je n'ai jamais manipulé ce binome auparavant!
le plus grand problème que je rencontre c'est avec les coefficients binomiaux.
Je sais les trouver avec le triangle de pascal lorsqu'on connait n mais lorsqu'on ne le connait pas....ca devient un peu plus dure!
Donc est-ce que tu pourrai m'expliquer comment démontrer que c'est un entier ?s'il te plait??  Ou me donner quelques pistes?

Boh beh il suffit d'appliquer la belle formule que tu as donné dans ton psot:




Donc


1+(-1)^k est nul pour les k impairs, et vaut 2 autrement

Donc reste


Pour k pair, V3^k est entier (mulptile de 3)
Cnk est entier.
2^n-k est entier...

Donc...


A+
biondo

oki d'accord... merci beaucoup!!!

bonjours,

est ce que quelqu'un sait comment démontrer que [[n.x]/n] = [x]
enfaite je pensait que j'avais réussit à le faire mais non! j'était sur une mauvaise piste.

Salut,

Simple question d'ecriture.
Pour ne pas se perdre dans les parties entieres, entre ce qu'on a demontre et ce qu'on a  pas encore demontre, je vais noter:

p= [x]
q = [nx]

Alors p<= x < p+1
donc np <= nx < np +n

ce qui signifie que np <= q < np + n

et donc p<= q/n < p+1

donc [q/n] = p


ce qui est exactement ce qu'on veut demontrer...


A+
biondo

oui d'accord! merci beaucoup biondo pour avoir répondu à toutes mes questions!t'es génial!

a bientôt....