Réflexion : a=a
Symétyrie : a=b implique b=a
Antisymétrie : a=b et b=a, alors a=b
Transitivité : a=b et b=c implique a=c

Toutes ces propriétés sont vraies.
Je dirai donc que "=" est une relation d'ordre et d'équivalence.

bonsoir,

je suis pas trop sûr qu'on puisse dire que "=" est une relation binaire. En effet, il est impossible qu'il y ait deux objets en relation dans l'ensemble si c'est le cas...

On parlera jamais de l'ensemble {1,2,3,1} comme un ensemble à 4 éléments dans lequel le premier élément est en relation avec le quatrième (on vient de définir implicitement une relation d'ordre). Si on fait cela, ca impliquerait qu'il existe une différence entre ces deux éléments (par exemple, que le premier est la première place et le deuxième à la quatrième), et ils ne seraient plus égaux...

Pour moi le symbole "=" signifie juste qu'on parle du même élément de l'ensemble, non ?

En tout cas, je ne pense pas qu'on puisse dire que "=" est une relation d'ordre car on utilise le signe "=" dans la définition de l'antisymétrie ; et on peut pas trop définir qqch à partir de lui-même.

Enfin, c'est qd mm tres embrouillant, et j'espere ne pas avoir raconter n'importe quoi ,

A plus

oula desolé pour la faute de grammaire : c'est "raconté" et pas "raconter"

c'est definition (surtous celle de l'antisymetrie en fait) sont un peu delicate a appliqué a certain relation "fondamental" des mathematique...

dans tous les cas = est une relation d'equivalence, (meme LA relation d'equivalence)

on peut effectivement dire que c'est une relation d'ordre partiel mais sa apporte vraiment rien.



mais dans le meme genre, peut-on dire que la relation d'implication est une relation d'ordre?

on a transivité et reflexion, mais a t'on antisymetrie ? ba tous depend de comment on formalise la definition

En théorie des ensembles classiques, on admet l'existence de la relation "", puis on définit l'inclusion : EF si tout élément de E appartient à F, et on définit l'égalité : E=F si EF et FE. C'est clairement une relation d'équivalence.

Bonjour tout le monde!

Je suis tout à fait d'accore avec vous tous et vous remercie d'ailleurs pour votre aide.

En fait si on reviens à la définition de l'antisymétrie, on a :

pour tout x,y appartenant à E : (x,y) appartient à R (la relaton) et x différent de y => (y,x) n'appartient pas à R

Mais tout ce joue dans la contaposée de cette implication (qui figure dans mon cours et que j'avais négligé!) :

pour tout x,y appartenant à E : (x,y) appartient à R (la relaton) et (y,x) appartient à R => x = y

...c'est d'ailleurs ainsi qu'on démontre que la seule relation d'ordre et d'équivalence est bien la relation "="

En tout cas merci à tous et bon WE,

Amicalement,

Al Khwarizmi

OUUUPPSSS!!!! quelle misérable, l'orthographe n'est pas mon fort et combinée à la dactylographie, je vous raconte pas...

d'accord avec "d" et revient avec "t"!

Bon WE

Ps : n'hésitez surtout pas à corriger mon orthographe dans d'autres posts par exemple ou meme celui-ci parce que j'en ai bien besoin...

Merci!

En fait si R est la relation "=" sur un ensemble E, la proposition
"(x,y) appartient à R et x différent de y" est toujours fausse donc l'implication "(x,y) appartient à R et x différent de y => (y,x) n'appartient pas à R" est toujours vraie.

Pour ta question sur les ensembles quotient, je te suggère d'ouvrir un autre topic.

Décidémment ce n'est pas ma journée... Je demanderai à tous le monde d'ignorer ce dernier post et aux correcteurs de le supprimer (merci) car c'était un nouveau topic, en tout cas ca le devait...

ce que tu as dis stokastik, c'est pour la relation "=" ou pour toute relation parce que là, je ne serai pas tout à fait d'accords...

Pour la relation "=" bien sur.

suis bete? ...entendons nous bien alors...