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La revanche du petit lycéen

Posté par
lyceen 03-12-19 à 18:06

Bonsoir,

Quelques nouvelles depuis ma 4ème année en informatique, tout va bien. En guise de maths, je n'ai qu'un tout petit module qui prend fin dans deux semaines : les chaînes de Markov. Et il se trouve que... un prof m'a pris de haut suite à une affirmation de ma part.

En outre, je pense que le sujet a sans doute été abordé ici. Mais je lui ai affirmé lors d'un exercice que quelque soit un entier relatif $a \in \bb{Z}$ , le nombre $a^n-1$ est multiple de $(a-1)$ . Bien entendu, le cas $a=1$ est exclu car n'ayant aucun sens.

N'importe quoi, m'a répondu le prof en question. Une minute plus tard, la démonstration était faite, il a bien été vexé ! Évidemment, hors de question pour lui de reconnaître son petit jugement un peu trop hâtif. Mais j'ai bien savouré ce moment. Si jamais je m'étais trompé, il m'aurait certainement assassiné en public.

La démonstration se fait très simplement par récurrence.

Méchant lycéen !

Posté par re : La revanche du petit lycéen 03-12-19 à 19:13

Bonjour

content que cela roule pour toi...

cela dit, ce que tu dis est valable aussi pour a=1 puisque 0 est multiple de tous les nombres... y compris lui-même !

et pour le démontrer quand a différent de 1, point besoin de récurrence... une simple identité remarquable liée à la somme d'une suite géométrique de raison a, de premier terme 1 et comprenant n termes suffit...

mm

Posté par re : La revanche du petit lycéen 04-12-19 à 08:32

Bonjour !

Merci matheuxmatou ! Effectivement, il aurait été plus simple de dire que :

$a^n-1=a^n-1^n=(a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + ... + 1)$ et le tour était joué ! Mince, j'aurais dû y penser plutôt que de passer par une récurrence... ^

Comme quoi, quelques mois sans maths et on perd certains réflexes.