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La suite de fibonacci

Posté par
L-rack
24-10-15 à 23:00

Bonjour je suis bloqué sur un exercice concernant la suite de fibonacci :


3.2 Étude de la suite 

Fn+1/Fn

On admet que pour tout entier naturel n non nul, Fn > 0.
Pour tout entier n > 1, on pose vn =
Fn+1/Fn
.
1. Prouver que pour tout n > 2, on a vn > 1.
2. Montrer que pour tout n > 1, vn+1 = 1 + 1
vn
.
3. En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.
4. Prouver par récurrence que pour tout n > 2, on a
|ϕ − vn| ≤ 1
ϕn−1
|ϕ − v1|.
(on rappelle que ϕ − 1 = 1
ϕ
et que ϕ + 1 = ϕ
2
)
5. En déduire la convergence de la suite (vn). Cela prouve-t-il l'une de vos conjectures ?



J'ai réussi à répondre à la question 1 et 2 je n'arrive pas à faire les suivants j'ai besoin d'aide
merci

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:01

L-rackL-rack

L-rack @ 24-10-2015 à 23:00

Bonjour je suis bloqué sur un exercice concernant la suite de fibonacci :


3.2 Étude de la suite 

Fn+1/Fn

On admet que pour tout entier naturel n non nul, Fn > 0.
Pour tout entier n > 1, on pose vn =
Fn+1/Fn
.
1. Prouver que pour tout n > 2, on a vn > 1.
2. Montrer que pour tout n > 1, vn+1 = 1 + 1/vn
.
3. En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.
4. Prouver par récurrence que pour tout n > 2, on a
|ϕ − vn| ≤ 1
ϕn−1
|ϕ − v1|.
(on rappelle que ϕ − 1 = 1
ϕ
et que ϕ + 1 = ϕ
2
)
5. En déduire la convergence de la suite (vn). Cela prouve-t-il l'une de vos conjectures ?



J'ai réussi à répondre à la question 1 et 2 je n'arrive pas à faire les suivants j'ai besoin d'aide
merci

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:07

Bonsoir,

tu aurais pu épurer un peu ton énoncé, on ne comprend pas trop les inégalités que tu as à montrer.

Pour la 3., si Un converge vers l, alors Un+1 converge aussi vers l.

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:15

oui je suis désolé pour l'énoncé , le problème c'est qu'on sait pas si la suite Vn converge vers le nombre d'or non ?

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:17

On te demande de le prouver justement !

On te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or.

Posté par
sloreviv
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:20

\Phi -v_n=\frac{1}{\Phi}-\frac{1}{v_{n-1}}=\frac{v_{n-1}-\Phi}{\Phi \times v_{n-1}}donc
|\Phi -v_n|=|v_{n-1}-\Phi|\times\frac{1}{\Phi \times v_{n-1}}<|\Phi-v_{n-1}|\times\frac{1}{\Phi}  ensuite par recurrence tu vas montrer que


|\Phi -v_n|\leqslant |\Phi-v_{1}|\times\left (\frac{1}{\Phi}\right)^n

et apres tu n'es pas loin de la fin

Posté par
sloreviv
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:21

bonsoir
j'ai essaye de comprendre cet ennoce mal ecrit masi je n'ai pas fait les questions   intermediaires ....

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:22

Faut-il prouver que Vn est croissante et majorée, ou décroissante et minorée car ce n'est pas le cas, elle n'est pas monotone, c'est pour cela que je n'arrive pas à l'étudier correctement d'autant plus que je ne vois pas comment prouver qu'une suite non monotone converge

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:23

Parce qu'une suite non monotone ne converge pas forcément, prend U_n=(-2)^n...

Je t'ai dit pourtant que tu n'as pas besoin de montrer que Vn converge, on fait la supposition que Vn converge dans la question : "SI Vn converge".

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:30

Je corrige l'enoncé excusez moi :

3.2 Étude de la suite 

Fn+1/Fn

On admet que pour tout entier naturel n non nul, Fn > 0.
Pour tout entier n > 1, on pose vn =
Fn+1/Fn
.
1. Prouver que pour tout n > 2, on a vn > 1.
2. Montrer que pour tout n > 1, vn+1 = 1 + 1/vn
.
3. En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.
4. Prouver par récurrence que pour tout n > 2, on a
|ϕ − vn| ≤ (1/ϕn−1)|ϕ − v1|.
(on rappelle que ϕ − 1 = 1/ϕ
et que ϕ + 1 = ϕ²)
5. En déduire la convergence de la suite (vn). Cela prouve-t-il l'une de vos conjectures ?

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:36

D'accord, on admet la supposition et on répond avec le théorème dans ce cas ?  

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:42

Quel théorème ?...

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:42

On doit aussi utiliser ce site http://tube.geogebra.org/material/simple/id/151882#material/1600773 , mais je ne vois toujours pas comment en déduire que c'est vers le nombre d'or que Vn converge

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:43

Au passage on admet pas une supposition, c'est antinomique.. On suppute une supposition.

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:43

Alors relis mon message à 23:07, la réponse est dedans !

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:44

Le théorème que tu as au préalable énoncé, Un converge vers l, alors Un+1 aussi

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:49

Si je suis ce raisonnement alors, Ce que je n'arrive surement pas à voir c'est qu'on a démontrer qu'un des deux convergeait vers le nombre d'or , soit Vn soit Vn+1 ? je me trompe ? or je ne vois pas lequel

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:50

démontré*

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:53

Ce n'est pas un théorème, c'est presque du bon sens..

Il faut montrer que Vn converge vers le nombre d'or ! Vn+1 aussi va converger vers le nombre d'or enfin...
On te demande de supposer que Vn converge. SI Vn converge, Vn+1 aussi évidemment voyons..

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 24-10-15 à 23:59

Mais il n'y a rien a redire là dessus et j'en ai pleinement conscience, or le véritable problème viens de " Il faut montrer que Vn converge vers le nombre d'or ! " je n'y parvient pas car cette suite Vn n'est pas monotone, et c'est surtout là que j'ai besoin d'être aidé
(Il est vrai que Vn converge vers l donc Vn+1 aussi est évident...)

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:12

NON. IL NE FAUT PAS MONTRER CECI.

J'arrête pas de le répéter..
On ne te demande pas de montrer que Vn converge vers le nombre d'or, on te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or.
Tu n'as pas de convergence à démontrer !!!

Et au passage, une suite monotone ne converge pas forcément !!! On peut prendre U_n=n pour exemple marquant...

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:22

Mais alors quelle déduction à t-on faîte si, à la question "En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.", on répond on suppute que Vn converge donc si Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or ????
C'est ce que je comprend dans:"On ne te demande pas de montrer que Vn converge vers le nombre d'or, on te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or." il faut donc bien à un moment démontrer que Vn converge non ?
Dsl de faire répéter les choses, je tiens vraiment à comprendre

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:24

Il faut démontrer quoi si il ne faut pas démontrer une convergence ? , une limite ?

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:27

Je vais faire un peu de logique :
Voici une proposition : "s'il pleut alors je prends mon parapluie".
J'ai supposé qu'il pleuvait dans ma proposition, et j'en ai déduis une réponse pertinente à mon problème (celui d'être mouillé).

Ici c'est pareil. "En déduire que SI la suite (vn) converge ALORS elle converge vers le nombre d'or ϕ".
Donc je suppose que (Vn) converge. Et en supposant ceci, montrons alors que (Vn) converge vers le nombre d'or EN PARTICULIER. Je ne sais pas à priori vers quelle valeur (Vn) converge. Ce que j'ai à montré, c'est que c'est bien vers le nombre d'or si jamais elle converge !

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:27

Oui, il faut calculer sa limite !!!!!!!!

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:28

Si (Vn) converge, notons L sa limite. Trouvons L.
Je te laisse faire.

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:34

Il n'y a pas qu'une suite croissante qui converge vers sa limite ?

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 00:35

Je suppose qu'on doit s'aider de Vn+1 pour trouver sa limite ?

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 01:43

Bien sûr que non !!! Quelle idée...
Déjà, une suite croissante peut très bien diverger (U_n=n).
Ensuite, une suite décroissante peut très bien converger, prend U_n=\frac{1}{n} tout simplement...
Et même une suite non monotone peut converger, comme par exemple U_n=1+\frac{(-1)^n}{n}..

Oui c'est exact. Lis mon post de 23:07.. Fais un passage à la limite dans la relation de récurrence, et trouve la limite..

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 12:28

C'est bon j'ai réussi merci =)

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 12:34

Une bonne chose de réalisée.

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 13:03

Maintenant la 4 haha  !
J'aurais aussi besoin d'aide car je ne comprend pas la simplification de sloreviv car j'ai mal écrit l'enoncé au début à mon avis. Je n'arrive pas non plus à passer de l'expression de Vn à Vn+1 dans l'inégalité |ϕ − vn| ≤ (1/ϕn−1)|ϕ − v1|. (le n-1 est en puissance du nombre d'or)

Posté par
sloreviv
lapsus ...sur l'exposant 25-10-15 à 14:05

\Phi -v_n=\frac{1}{\Phi}-\frac{1}{v_{n-1}}=\frac{v_{n-1}-\Phi}{\Phi \times v_{n-1}}donc
|\Phi -v_n|=|v_{n-1}-\Phi|\times\frac{1}{\Phi \times v_{n-1}}<|\Phi-v_{n-1}|\times\frac{1}{\Phi}  ensuite par recurrence tu vas montrer que


|\Phi -v_n|\leqslant |\Phi-v_{1}|\times\left (\frac{1}{\Phi}\right)^{n-1}

et apres tu n'es pas loin de la fin

Posté par
sloreviv
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 14:10

bon je te donne un bout de la recurrence : si

|\Phi -v_n|\leqslant |\Phi-v_{1}|\times\left (\frac{1}{\Phi}\right)^{n-1}

alors comme

|\Phi -v_{n+1}|<|\Phi-v_{n}|\times\frac{1}{\Phi}  tu peux dire

|\Phi-v_{n}|\times\frac{1}{\Phi}\leqslant(|\Phi-v_{1}|\times\left (\frac{1}{\Phi}\right)^{n-1}) \times\frac{1}{\Phi}  
et apres regroupe les puissances de (\frac{1}{\Phi})



|\Phi -v_{ n+1}|\leqslant |\Phi-v_{1}|\times\left (\frac{1}{\Phi}\right)^n

Posté par
sloreviv
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 14:18

tu es en 1ere ou term? car la recurrence c'est en term

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 25-10-15 à 18:13

Je suis en terminale, je vais ré essayer avec votre méthode, merci de m'aider, je reviens poster un message ici si je suis toujours bloqué

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 27-10-15 à 13:15

Lorsqu'on applique la fonction inverse, l'égalité ne change t-elle pas ? Ainsi on devrait inverser son sens lorsqu'on multiplie les deux membres par 1/Phi non ?

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 27-10-15 à 14:00

Regarde ta phrase.
Tu parles de deux choses différentes : appliquer la fonction inverse, et multiplier par un nombre. C'est la même chose pour toi ?
1/Phi est strictement positif, ça ne change pas le sens de l'inégalité que de multiplier par un réel strictement positif. On applique absolument pas la fonction inverse.

Posté par
L-rack
re : La suite de fibonacci 28-10-15 à 13:42

Je m'en suis rendu compte après coup, mais j'ai encore un petit problème, je comprend que partiellement les calculs que vous avez effectué notamment ϕ −Vn = 1/ϕ - 1/Vn-1

Posté par
Flewer
re : La suite de fibonacci 28-10-15 à 16:35

On te dit pourtant que \varphi -1 = \frac{1}{\varphi}et que V_{n+1}=1+\frac{1}{V_n} !

Posté par
wonderfulll03
re : La suite de fibonacci 01-11-15 à 16:24

Salut, j'ai exactement le même sujet que toi et je bloque sur les deux premières questions...
Tu pourrais me dire comment tu as fait ?



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