Bonjour je suis bloqué sur un exercice concernant la suite de fibonacci :
3.2 Étude de la suite
Fn+1/Fn
On admet que pour tout entier naturel n non nul, Fn > 0.
Pour tout entier n > 1, on pose vn =
Fn+1/Fn
.
1. Prouver que pour tout n > 2, on a vn > 1.
2. Montrer que pour tout n > 1, vn+1 = 1 + 1
vn
.
3. En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.
4. Prouver par récurrence que pour tout n > 2, on a
|ϕ − vn| ≤ 1
ϕn−1
|ϕ − v1|.
(on rappelle que ϕ − 1 = 1
ϕ
et que ϕ + 1 = ϕ
2
)
5. En déduire la convergence de la suite (vn). Cela prouve-t-il l'une de vos conjectures ?
J'ai réussi à répondre à la question 1 et 2 je n'arrive pas à faire les suivants j'ai besoin d'aide
merci
L-rackL-rack
Bonsoir,
tu aurais pu épurer un peu ton énoncé, on ne comprend pas trop les inégalités que tu as à montrer.
Pour la 3., si Un converge vers l, alors Un+1 converge aussi vers l.
oui je suis désolé pour l'énoncé , le problème c'est qu'on sait pas si la suite Vn converge vers le nombre d'or non ?
On te demande de le prouver justement !
On te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or.
bonsoir
j'ai essaye de comprendre cet ennoce mal ecrit masi je n'ai pas fait les questions intermediaires ....
Faut-il prouver que Vn est croissante et majorée, ou décroissante et minorée car ce n'est pas le cas, elle n'est pas monotone, c'est pour cela que je n'arrive pas à l'étudier correctement d'autant plus que je ne vois pas comment prouver qu'une suite non monotone converge
Parce qu'une suite non monotone ne converge pas forcément, prend ...
Je t'ai dit pourtant que tu n'as pas besoin de montrer que Vn converge, on fait la supposition que Vn converge dans la question : "SI Vn converge".
Je corrige l'enoncé excusez moi :
3.2 Étude de la suite
Fn+1/Fn
On admet que pour tout entier naturel n non nul, Fn > 0.
Pour tout entier n > 1, on pose vn =
Fn+1/Fn
.
1. Prouver que pour tout n > 2, on a vn > 1.
2. Montrer que pour tout n > 1, vn+1 = 1 + 1/vn
.
3. En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.
4. Prouver par récurrence que pour tout n > 2, on a
|ϕ − vn| ≤ (1/ϕn−1)|ϕ − v1|.
(on rappelle que ϕ − 1 = 1/ϕ
et que ϕ + 1 = ϕ²)
5. En déduire la convergence de la suite (vn). Cela prouve-t-il l'une de vos conjectures ?
On doit aussi utiliser ce site http://tube.geogebra.org/material/simple/id/151882#material/1600773 , mais je ne vois toujours pas comment en déduire que c'est vers le nombre d'or que Vn converge
Si je suis ce raisonnement alors, Ce que je n'arrive surement pas à voir c'est qu'on a démontrer qu'un des deux convergeait vers le nombre d'or , soit Vn soit Vn+1 ? je me trompe ? or je ne vois pas lequel
Ce n'est pas un théorème, c'est presque du bon sens..
Il faut montrer que Vn converge vers le nombre d'or ! Vn+1 aussi va converger vers le nombre d'or enfin...
On te demande de supposer que Vn converge. SI Vn converge, Vn+1 aussi évidemment voyons..
Mais il n'y a rien a redire là dessus et j'en ai pleinement conscience, or le véritable problème viens de " Il faut montrer que Vn converge vers le nombre d'or ! " je n'y parvient pas car cette suite Vn n'est pas monotone, et c'est surtout là que j'ai besoin d'être aidé
(Il est vrai que Vn converge vers l donc Vn+1 aussi est évident...)
NON. IL NE FAUT PAS MONTRER CECI.
J'arrête pas de le répéter..
On ne te demande pas de montrer que Vn converge vers le nombre d'or, on te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or.
Tu n'as pas de convergence à démontrer !!!
Et au passage, une suite monotone ne converge pas forcément !!! On peut prendre pour exemple marquant...
Mais alors quelle déduction à t-on faîte si, à la question "En déduire que si la suite (vn) converge alors elle converge vers le nombre d'or ϕ.", on répond on suppute que Vn converge donc si Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or ????
C'est ce que je comprend dans:"On ne te demande pas de montrer que Vn converge vers le nombre d'or, on te demande de montrer que SI Vn converge, alors c'est vers le nombre d'or." il faut donc bien à un moment démontrer que Vn converge non ?
Dsl de faire répéter les choses, je tiens vraiment à comprendre
Je vais faire un peu de logique :
Voici une proposition : "s'il pleut alors je prends mon parapluie".
J'ai supposé qu'il pleuvait dans ma proposition, et j'en ai déduis une réponse pertinente à mon problème (celui d'être mouillé).
Ici c'est pareil. "En déduire que SI la suite (vn) converge ALORS elle converge vers le nombre d'or ϕ".
Donc je suppose que (Vn) converge. Et en supposant ceci, montrons alors que (Vn) converge vers le nombre d'or EN PARTICULIER. Je ne sais pas à priori vers quelle valeur (Vn) converge. Ce que j'ai à montré, c'est que c'est bien vers le nombre d'or si jamais elle converge !
Bien sûr que non !!! Quelle idée...
Déjà, une suite croissante peut très bien diverger ().
Ensuite, une suite décroissante peut très bien converger, prend tout simplement...
Et même une suite non monotone peut converger, comme par exemple ..
Oui c'est exact. Lis mon post de 23:07.. Fais un passage à la limite dans la relation de récurrence, et trouve la limite..
Maintenant la 4 haha !
J'aurais aussi besoin d'aide car je ne comprend pas la simplification de sloreviv car j'ai mal écrit l'enoncé au début à mon avis. Je n'arrive pas non plus à passer de l'expression de Vn à Vn+1 dans l'inégalité |ϕ − vn| ≤ (1/ϕn−1)|ϕ − v1|. (le n-1 est en puissance du nombre d'or)
bon je te donne un bout de la recurrence : si
alors comme
tu peux dire
et apres regroupe les puissances de
Je suis en terminale, je vais ré essayer avec votre méthode, merci de m'aider, je reviens poster un message ici si je suis toujours bloqué
Lorsqu'on applique la fonction inverse, l'égalité ne change t-elle pas ? Ainsi on devrait inverser son sens lorsqu'on multiplie les deux membres par 1/Phi non ?
Regarde ta phrase.
Tu parles de deux choses différentes : appliquer la fonction inverse, et multiplier par un nombre. C'est la même chose pour toi ?
1/Phi est strictement positif, ça ne change pas le sens de l'inégalité que de multiplier par un réel strictement positif. On applique absolument pas la fonction inverse.
Je m'en suis rendu compte après coup, mais j'ai encore un petit problème, je comprend que partiellement les calculs que vous avez effectué notamment ϕ −Vn = 1/ϕ - 1/Vn-1
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