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La suite est-elle convergente
Bonjour,
La suite ci-dessous, est-elle convergente ?
J'ai essayé de définir cette suite de manière récurrente, de cette sorte : Un+1=√2Un
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
N'oublie pas de mettre des parenthèses : un+1 = 
(2un)
Dans tes précédents sujets, tu n'as pas souvent donné suite aux réponses que tu as eues.
Seras-tu plus réactif avec celui-ci ?
Bonjour,
Suppose que cette suite converge, alors sa limite L satisferait à l'équation :
L = (2L)
D'où tu déduis facilement :
L = 2
Introduis alors la suite Vn = Un/2
Et tu es ramené à étudier la suite :
Vn+1 = Vn
V0 = 1/2
Ce qui est assez classique et peut-être déjà dans ton cours.
Bonjour, merci pour vos réponses.
Oui, c'est bien la seule question de l'exercice.
Je n'ai pas compris pourquoi on introduisait la suite Vn de cette manière.
J'ai vu sur ma calculatrice, que la suite est bien convergente, cependant je ne sais comment le démontrer. Je sais qu'avec le théorème de convergence monotone, pour prouver qu'une suite converge, il faut d'abord prouver qu'elle est croissante et majorée.
Dois-je donc faire Un+1-Un pour étudier le signe puis les variations ?
De plus, pour prouver qu'une suite est majorée, dois-je simplement calculer la limite ?
Je peux prouver sa croissance par récurrence ?
Pour prouver qu'elle est majorée je calcule simplement sa limite ?
"prouver qu'elle est croissante et majorée. "
c'est une bonne idee
Pour majorée, il faut d'abord conjecturer un majorant.
Pour le sens de variation, il y a plusieurs méthodes possibles.
L'une d'elle :
Utiliser le sens de variation de la fonction f définie sur [0;+
[ par f(x) = (2x).Cependant je ne comprend pas l'interet de considérer une autre suite,
Cela n'a pas d'importance, oublie et suis les autres (très bons) conseils...
Messages croisés
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.
C'est un exercice ouvert ; donc plusieurs méthodes sont envisageables.
Tu peux prouver par récurrence que la suite est croissante, en utilisant la fonction f que j'ai définie.
Tu peux aussi démontrer par récurrence qu'elle est majorée, en choisissant un majorant adéquat.
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.
Je fais partie de ceux-là, donc je vais répondre.
L'introduction de Vn = Un/2 conduit à Vn+1 =
Vn avec V0 = 1/2
C'est un "cas d'école" de suite récurrente :
Les points fixes sont les solutions de l'équation x =
x, donc 0 et 1
La convergence s'étudie avec la fonction f(x) =
x, donc f'(x) = 1/(2x)
En 0, la dérivée est infinie, 0 n'est donc pas une limite possible.
En 1, f'(1) = 1/2 donc |f'(1)| < 1
Le point 1 est donc l'unique point de convergence possible.
Il reste à montrer que pour x0 < 1 la suite est croissante et majorée par 1, ce qui se fait facilement par récurrence.
(Vn) est donc croissante et majorée, donc convergente, et elle ne peut converger que vers 1.
La limite de (Vn) est donc 1, el la limite de (Un) est donc 2.
pourquoi introduire une suite auxiliaire ?
l'etude directe de u(n+1)=sqrt(2*u(n)) est tout aussi rapide
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.
Je fais partie de ceux-là, donc je vais répondre.
L'introduction de Vn = Un/2 conduit à Vn+1 =
Vn avec V0 = 1/2
C'est un "cas d'école" de suite récurrente :
Les points fixes sont les solutions de l'équation x =
x, donc 0 et 1
La convergence s'étudie avec la fonction f(x) =
x, donc f'(x) = 1/(2x)
En 0, la dérivée est infinie, 0 n'est donc pas une limite possible.
En 1, f'(1) = 1/2 donc |f'(1)| < 1
Le point 1 est donc l'unique point de convergence possible.
Il reste à montrer que pour x0 < 1 la suite est croissante et majorée par 1, ce qui se fait facilement par récurrence.
(Vn) est donc croissante et majorée, donc convergente, et elle ne peut converger que vers 1.
La limite de (Vn) est donc 1, el la limite de (Un) est donc 2.
En effet c'est une autre manière d'aborder le problème, en vous remerciant pour votre réponse
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