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La suite est-elle convergente

Posté par
leadu75000
27-12-21 à 10:38

Bonjour,

La suite  ci-dessous, est-elle convergente ?
J'ai essayé de définir cette suite de manière récurrente, de cette sorte : Un+1=√2Un

Merci d'avance pour votre aide

La suite est-elle convergente

Posté par
malou Webmaster
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:19

Bonjour

est-ce la seule question de l'exercice ? y - a - t- il des questions au préalable ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:23

Bonjour,
N'oublie pas de mettre des parenthèses : un+1 = (2un)

Dans tes précédents sujets, tu n'as pas souvent donné suite aux réponses que tu as eues.
Seras-tu plus réactif avec celui-ci ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:24

Bonjour malou

Posté par
LeHibou
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:28

Bonjour,

Suppose que cette suite converge, alors sa limite L satisferait à l'équation :
L = (2L)
D'où tu déduis facilement :
L = 2
Introduis alors la suite Vn = Un/2
Et tu es ramené à étudier la suite :
Vn+1 = Vn
V0 = 1/2
Ce qui est assez classique et peut-être déjà dans ton cours.

Posté par
LeHibou
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:29

Bonjour Sylvieg et malou!

Posté par
LeHibou
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:30

J'aurais dû écrire :

"alors sa limite L satisfait à l'équation : "

Posté par
alb12
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:31

salut,
on peut conseiller à leadu75000 d'emettre quelques conjectures à l'aide d'un graphe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 11:42

Ou d'une calculatrice

Posté par
leadu75000
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 13:43

Bonjour, merci pour vos réponses.
Oui, c'est bien la seule question de l'exercice.
Je n'ai pas compris pourquoi on introduisait la suite Vn de cette manière.
J'ai vu sur ma calculatrice, que la suite est bien convergente, cependant je ne sais comment le démontrer. Je sais qu'avec le théorème de convergence monotone, pour prouver qu'une suite converge, il faut d'abord prouver qu'elle est croissante et majorée.
Dois-je donc faire Un+1-Un pour étudier le signe puis les variations ?
De plus, pour prouver qu'une suite est majorée, dois-je simplement calculer la limite ?

Posté par
larrech
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 14:03

Bonjour,

Tu pourrais peut-être considérer la suite V_n=\ln(U_n)

Posté par
alb12
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 14:33

"prouver qu'elle est croissante et majorée. "
c'est une bonne idee

Posté par
leadu75000
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:15

Je peux prouver sa croissance par récurrence ?
Pour prouver qu'elle est majorée je calcule simplement sa limite ?

Posté par
leadu75000
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:16

Cependant je ne comprend pas l'interet de considérer une autre suite, pouvez-vous m'en dire plus

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:23

alb12 @ 27-12-2021 à 14:33

"prouver qu'elle est croissante et majorée. "
c'est une bonne idee
Je confirme

Pour majorée, il faut d'abord conjecturer un majorant.
Pour le sens de variation, il y a plusieurs méthodes possibles.
L'une d'elle :
Utiliser le sens de variation de la fonction f définie sur [0;+[ par f(x) = (2x).

Posté par
larrech
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:28

Citation :
Cependant je ne comprend pas l'interet de considérer une autre suite,


Cela n'a pas d'importance, oublie et suis les autres (très bons) conseils...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:29

Messages croisés
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.
C'est un exercice ouvert ; donc plusieurs méthodes sont envisageables.

Tu peux prouver par récurrence que la suite est croissante, en utilisant la fonction f que j'ai définie.
Tu peux aussi démontrer par récurrence qu'elle est majorée, en choisissant un majorant adéquat.

Posté par
leadu75000
re : La suite est-elle convergente 27-12-21 à 15:58

D'accord merci pour vos réponses !

Posté par
LeHibou
re : La suite est-elle convergente 28-12-21 à 11:06

Citation :
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.

Je fais partie de ceux-là, donc je vais répondre.
L'introduction de Vn = Un/2 conduit à Vn+1 = Vn avec V0 = 1/2
C'est un "cas d'école" de suite récurrente :
Les points fixes sont les solutions de l'équation x = x, donc 0 et 1
La convergence s'étudie avec la fonction f(x) = x, donc f'(x) = 1/(2x)
En 0, la dérivée est infinie, 0 n'est donc pas une limite possible.
En 1,  f'(1) = 1/2 donc |f'(1)| < 1
Le point 1 est donc l'unique point de convergence possible.
Il reste à montrer que pour x0 < 1 la suite est croissante et majorée par 1, ce qui se fait facilement par récurrence.
(Vn) est donc croissante et majorée, donc convergente, et elle ne peut converger que vers 1.
La limite de (Vn) est donc 1, el la limite de (Un) est donc 2.

Posté par
alb12
re : La suite est-elle convergente 28-12-21 à 11:39

pourquoi introduire une suite auxiliaire ?
l'etude directe de u(n+1)=sqrt(2*u(n)) est tout aussi rapide

Posté par
leadu75000
re : La suite est-elle convergente 31-12-21 à 17:43

LeHibou @ 28-12-2021 à 11:06

Citation :
Pour l'intérêt d'introduire une autre suite, je laisse ceux qui en ont parlé répondre.

Je fais partie de ceux-là, donc je vais répondre.
L'introduction de Vn = Un/2 conduit à Vn+1 = Vn avec V0 = 1/2
C'est un "cas d'école" de suite récurrente :
Les points fixes sont les solutions de l'équation x = x, donc 0 et 1
La convergence s'étudie avec la fonction f(x) = x, donc f'(x) = 1/(2x)
En 0, la dérivée est infinie, 0 n'est donc pas une limite possible.
En 1,  f'(1) = 1/2 donc |f'(1)| < 1
Le point 1 est donc l'unique point de convergence possible.
Il reste à montrer que pour x0 < 1 la suite est croissante et majorée par 1, ce qui se fait facilement par récurrence.
(Vn) est donc croissante et majorée, donc convergente, et elle ne peut converger que vers 1.
La limite de (Vn) est donc 1, el la limite de (Un) est donc 2.


En effet c'est une autre manière d'aborder le problème, en vous remerciant  pour votre réponse



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