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la tangente d'une hyperbole

Posté par
samia10 09-12-07 à 14:05

Bonjour,
Je voudrais avoir de l'aide pour l'exo que voici:
La tangente en A à une hyperbole H coupe les asymptotes en I et J. Montrer que M est le milieu  de [IJ].En déduire une construction de la tangente à H en M.
Je pensais à un paramétrage hyperbolique au début mais ça ne m'a mené à rien ...
Pouvez vous m'aidez svp?
Merci

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 15:01

Bonjour,

En prenant la formule d'une hyperbole

Tu connais l'équation des asymptotes
Tu connais l'équations des tangentes

Tu détermines l'intersection

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 15:28

désolé j'ai commis une erreur dans l'énnoncé ce n'est pas la tangente en A mais en M.
Sinon avec ce que tu me dis on a :
x²/a² -  y²/b² = 1
les équations des asymptotes sont : y= (b/a)*x et y =-(b/a)*x
et puis l'équation des tangentes :
en M x.xM/a² - y.yM/b² = 1
Mais avec toutes ces informations je ne vois pas quelle démarche faut il suivre pour montrer M milieu de [IJ].
Merci.

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 16:22

Le point I appartient à la tangente et à l'asymptote

Cherche ses coordonnées

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 16:32

euh je suis Oki le point I appartient à la tangente mais sur le dessin ke je me suis fait il n'appartient pas à l'asymptote...

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 16:33

ah si si !!! me suis gourée
je vais essayer
merci skops

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 16:33

Bah c'est pas normal

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 17:05

euh j'arrive à I ( a²b/ ay+bx ; -ab²/bx+ay)
je fais de meme pour J et j'arrive à (a²/b/ bx-ay ; ab²/ bx-ay)
là je calcule le milieu de [IJ] mais ca me parait faux...
help...

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 17:32

finalement je calcule les coordonnées des milieux
et je trouve (a²b²x/ b²x²-a²y² ; a²b²y / b²x²-a²y² )
ensuite j'injecte dans l'équation de la tangente  et ses coordonées verifient l'équation
mais comment montrer qu'il s'agit bien des coordonnées du  point M ?

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:01

Calcule les coordonnées du point M

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:05

oui j'ai essayé

mais le point M on sait juste qu'il appartient à la tangente ...

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:06

et aussi à la courbe*
et en calculant j'aboutis pas a la meme chose
sauf erreur de ma part

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:08

Que trouves tu pour I pour J et pour M ?

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:16

bain c'est ce que j'ai mis plus haut
j'arrive à I ( a²b/ ay+bx ; -ab²/bx+ay)
J  (a²/b/ bx-ay ; ab²/ bx-ay)
je calcule leur milieu appelons le M' (a²b²x/ b²x²-a²y² ; a²b²y / b²x²-a²y² )
il faut ke je montre que M' = M
?!!:?

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 18:59

Pour I, il n'y a pas de - au numérateur

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 19:19

si c ou I ( a²b/ ay+bx ; -ab²/bx+ay)
ou alors I ( a²b/ ay+bx ; ab²/ -bx-ay)
tu fais comment pour trouver les coordonnées de M?

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 19:37

je n'y arrive pas... j'ai refait je tombe sur la meme chose

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 19:48

Il n'y a pas de - au dénominateur, je t'assure ^^

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 20:09

bain je ne vois pa d'ou vient mon erreur ...

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 20:38

J'apelle (x0;y0), les coordonnées du point M

Tu as mis le point I sur la tangente y=-bx/a

4$\{\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1\\y=\frac{-b}{a}x

4$\{\frac{xx_0}{a^2}+\frac{xy_0}{ab}=1\\y=\frac{-b}{a}x

4$\{x(\frac{x_0}{a^2}+\frac{y_0}{ab})=1\\y=\frac{-b}{a}x

4$\{x=(\frac{a^2b}{x_b+ay_0})\\y=\frac{-b}{a}x

4$\{x=(\frac{a^2b}{x_b+ay_0})\\y=\frac{ab^2}{x_0b+ay_0}

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 20:53

je voi toujours pas comment ton - part :
tu as y = (-b/a) x donc j'imagne qu'aprés tu remplaces avec l'expresion de x et je ne vois pas de - dans l'expression de x
comment ton - se volatilise
et t'en conclus quoi de ce que tu obtiens?

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 20:56

Il y a un - dans la formule de l'hyperbole

Quand tu remplaces y par -bx/a, les - se multiplient et deviennent +

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 21:24

ca j'ai compris je te parle des deux derniers systemes...
je me sens conne je bute sur une erreur de signe !!!

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 21:40

Non, c'est une erreur de ma part, desolé

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 21:53

ouf ... soulagée lol j'allais finir par croire que j'étais devenue folle
tu peux me dire stp comment on peut montrer qu'il s'agit bien du meme milieu
et comment je pouurais en déduire une construction à la tangente à H en M .
Je t'en serais trop reconnaissante si tu m'aidez parceque la j'ai le cerveau en bouilli
j'aarive plus à raisonner...

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 22:13

L'abscisse de I est 4$\frac{ab^2}{x_0b-y_0a}
L'abcisse de J est 4$\frac{a^2b}{x_0b+y_0a}

Calculons l'abscisse du milieu de [IJ]

4$\frac{1}{2}(\frac{ab^2}{x_0b-y_0a}+\frac{a^2b}{x_0b+y_0a})

4$\frac{ab^2(x_0b+y_0a)+a^2b(x_0b-y_0a)}{2(x_0b-y_0a)(x_0b+y_0a)}

4$\frac{2a^2b^2x_0}{2(x_0b-y_0a)(x_0b+y_0a)}

4$\frac{a^2b^2x_0}{(x_0b-y_0a)(x_0b+y_0a)}

On sait que le milieu appartient à l'hyperbole donc 4$\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1
4$a^2b^2=x_0^2b^2-y_0^2a^2

Donc on a 4$\frac{(x_0^2b^2-y_0^2a^2)x_0}{(x_0b-y_0a)(x_0b+y_0a)}

4$x_0

De même pour l'ordonnée

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 22:19

j'arrive aux meme conclusions que toi mais ce ne sont pas tout à fait les meme coordonées ...lol
une derniere question stp
En déduire une construction de la tangente à H en M
.
merci

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 22:46

Choisit un point M sur l'hyperbole
-Trace la droite (OM)
-Tes deux asymptotes forment 2 cotés d'un parallélogramme avec [OM] comme diagonale, finit de le construire pour trouver I et J

Skops

Posté par
samia10re : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 22:59

ok
Mercii beaucoup Skops .

Posté par
Skopsre : la tangente d'une hyperbole 09-12-07 à 23:02

Je t'en prie

Skops


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