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Lagrange identite trigonometrique

Posté par
Molotov79 21-02-19 à 21:13

Bonsoir j'avais un probleme et je souhaiterai avoir votre aide .
Exercice
Demontrer par recurrence  que pour tout n\geq 1 , \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{cos(kt)}=\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{2sin(\frac{t}{2})}
deja pour l'initialisation j'ai pas les memes choses a gauche et a droite

MERCI !

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:24

Bonsoir,

Moi non plus: ton énoncé est, comme d'habitude, faux.

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:27

je l'ai vu dans un sujet de concours EGISELEC , https://www.faidherbe.org/~jdebarbieux/a2002/pdf/sujet04.pdf partie I premiere question

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:31

Désolé, j'ai cafouillé. Bon, cette initialisation, montre ce que tu as fait...

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:32

Au fait, pourquoi par récurrence ?

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:37

Pardon , le vrai enonce est la :
Soit Dn(t)=1/2 +cos(t)+...+cos(kt)
En remarquant que 2sin(b)cos(a)=sin(a+b)-sin(a-b) , en deduire par recurrence
que pour tout n superieur ou egal a 1 Dn(t)=\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)}{2sin(\frac{t}{2})}

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:38

lake @ 21-02-2019 à 21:32

Au fait, pourquoi par récurrence ?
, car je fais un probleme ou y a cette question et on m'impose la recurrence

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:38

Citation :
Bon, cette initialisation, montre ce que tu as fait...

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:42

n=1 , gauche j'ai 1/2 +cos(t) et a droite j'ai sin((3/2)t)/2sin(t/2)

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:47

Citation :
et a droite j'ai sin((3/2)t)/2sin(t/2)


Eh bien il faut transformer:

\sin\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\sin\left(t+\dfrac{t}{2}\right)=\cdots \\

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 21:58

meme apres simplification ca sort pas
sin(\frac{t}{2}+t)=sin(t)cos(\frac{t}{2})+sin(\frac{t}{2})cos(t) \\ ; \frac{sin(t+\frac{t}{2})}{2sin(\frac{t}{2})}=\frac{2sin(\frac{t}{2})cos^2(\frac{t}{2})}{2sin(\frac{t}{2})}+\frac{cos(t)}{2}

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 22:02

Il faut simplifier!

\cdots=\cos^2\dfrac{t}{2}+\dfrac{\cos\,t}{2}=\dfrac{1+\cos\,t}{2}+\dfrac{\cos\,t}{2}=\dfrac{1}{2}+\cos\,t

L'hérédité est pour toi.

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 22:50

j'ai \frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{n+1}{cos(kt)}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{cos(kt)}+\frac{sin((n+\frac{3}{2})t)}{2sin(\frac{t}{2})}=\frac{sin((n+\frac{1}{2})t)+sin((n+\frac{3}{2})t)}{2sin\frac{t}{2}}
en utilisant sin(a)+sin(b), j'ai \frac{sin(2t(n+1))cos(t)}{sin\frac{t}{2}}
Arghh rien ne sort

Posté par
lakere : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 23:02

Citation :
\frac{1}{2}+\sum_{k=2}^{n+1}{cos(kt)}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}{cos(kt)}+\frac{sin((n+\frac{3}{2})t)}{2sin(\frac{t}{2})}=


Non:

  \dfrac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n+1}\cos\,kt=\dfrac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos\,kt+\cos\,(n+1)t=\dfrac{\sin\,(n+\frac{1}{2})t}{2\,\sin\,\frac{t}{2}}+\cos\,(n+1)t (avec l'hypothèse de récurrence).

On réduit au même dénominateur et on utilise l'indication.

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 21-02-19 à 23:53

j'ai maintenant mieux compris la recurrence ,  mon probleme etait que je calcule le dernier terme toujours avec le membre de droite
merci factoriel n lake , apres avoir bien dormi j'aurai bien aime un coup d'oeil sur celui ci https://www.ilemaths.net/sujet-suite-somme-inverse-puissance-impaire-810059.html

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 22-02-19 à 14:01

Bonjour,
je demande une aide svp

Posté par
Molotov79re : Lagrange identite trigonometrique 22-02-19 à 14:13

Desole je me suis trompe de topic !

Posté par
Molotov79Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 16:06

Salut je demande de l'aide sur cet exercice et merci d'avance !
Exercice
On a g(t)=\frac{\frac{t^2}{2pi}-t}{2sin(\frac{t}{2})} si t [0;] et g(0)=-1.
On pose pour x]0;pi/2[, h(x)=\frac{sinx}{x}
1.Montrer que h derivable sur ]0;\frac{pi}{2}[ et que le signe de h'(x) est du signe de (x)=x-tanx
2.Etudier le signe de (x) en etudiant les variations de
3.En deduire que h decroissante sur ]0;\frac{pi}{2}[
4.Sur [0;pi]Demontrer l'encadrement -\frac{pi}{2}\leq g(t)\leq \frac{pi}{2}


J'ai traite sans probleme les questions vertes , c'est la rouge qui pose probleme

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 16:49



*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 17:09

Bonjour,

Indications:

pose x=t/2      ; x   ]0;/2 [

donc t ]? ; ? [

Utilises le tableau de variation de h.

on peut écrire g(t) sous la forme suivante :

g(t)=\dfrac{\dfrac{t}{pi}-1}{\dfrac{sin(t/2)}{t/2}}

*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 17:16

Correctif

2 à la place de

g(t)=\dfrac{\dfrac{t}{2pi}-1}{\dfrac{sin(t/2)}{t/2}}

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 18:21

Salut ilyass59, donc ce changement de variable permet de se retrouver avec une fonction donnant le signe de g(t), mais si on connait le signe de g quelle indication supplementaire me donnes tu , derivation ?

*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 18:49

ce n'est pas une question de signe, c'est une question d'encadrement !

donc g(t)=\dfrac{\dfrac{t}{2pi}-1}{\dfrac{sin(t/2)}{t/2}}
Étant donné que t'as déja répondu aux questions précédentes donc t'as dressé le tableau de variation de la fonction h  ,

h est continue et dérivable sur  ]0;/2[
h est décroissante sur  ]0;/2

donc t'as du trouver lim de h(x) quand x tend vers 0 et lim de h(x) quand x tend vers /2.

donc essaye d'encadrer h(x)

donc                             ?   < h(x) < ?


et c'est à partir de là que ton changement de variable va intervenir (x=t/2)

en encadrant le dénominateur de g(t)=\dfrac{\dfrac{t}{2pi}-1}{\dfrac{sin(t/2)}{t/2}}

\dfrac{t}{2pi}-1}

ensuite tu encadres le numérateur \dfrac{t}{2pi}-1}  ( trivial)




g(t)=\dfrac{t}{2pi}-1

*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 18:53

co rrectif :ne tiens pas compte de la dernière ligne ( g(t)= t/2-1)  ,un petit cafouillage

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 19:14

J'ai-1\leq \frac{t}{2pi}-1\leq \frac{-1}{2} , 1\leq \frac{1}{\frac{sin(\frac{t}{2})}{(\frac{t}{2})}}\leq \frac{pi}{2}

*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 19:48

parfait!

donc :

1/2\leq%20-(\frac{t}{2pi}-1)\leq%201%20,%201\leq%20\frac{1}{\frac{sin(\frac{t}{2})}{(\frac{t}{2})}}\leq%20\frac{pi}{2}


donc       ?   < g(t)  <  ?

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 20:10

Et c'est super , Merci ilyass59 de me donner de ton temps , , tu peux jeter un coup d'oeil a un exercice qui me turlupine depuis plus de 5 jours stp , le voici
https://www.ilemaths.net/sujet-suite-somme-inverse-puissance-impaire-810059.html , l'enonce rectifie est ma derniere reponse

*** message déplacé ***

Posté par
ilyass59re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 20:26

De rien! Ok J'irai jeter un coup d'œil!

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 20:33

Bonsoir,

De ce que je vois, il est plus que probable que ton exercice consiste à montrer que:

  \lim\limits_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{\pi^2}{6}

C'est un exercice intéressant dans la mesure où la méthode est une des rares accessibles en Terminale.

Il est dommage que tu n'aies pas posté l'exercice complet. Tout le monde aurait pu en profiter...

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 20:59

Comment le sais tu lake? , Bon je vais le poster pour qu'on en profite tous

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 21:07



*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 21:12

Non lake comment tu as fait ?

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 22-02-19 à 22:06

Bon pour ceux qui veulent le faire voici l'enonce complet

Exercice
Note:le but de ce probleme est d'etudier la limite de (Un) de terme general Un=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}, n1

PARTIE A:Expression de (Un) a l'aide d'une integrale
1.Calculer J=\int_{0}^{\pi }{(\frac{t^2}{2\pi }-t)}dt
2.On pose pour tout k1, K=\int_{0}^{\pi }{(\frac{t^2}{2\pi }-t)}cos(kt)dt
A l'aide de 2 integrations par parties successives, montrer que K=\frac{1}{k^2} \\
3.On pose pour tout t[0;] et n1, Dn(t)=\frac{1}{2}+cos(t)+cos(2t)+...+cos(nt)
Deduire des questions precedentes l'egalite Un=\frac{\pi ^2}{6}+\int_{0}^{\pi }{(\frac{t^2}{2\pi }-t)}Dn(t)dt

PARTIE B:Etude de l'integrale In=\int_{0}^{\pi }{(\frac{t^2}{2\pi }-t)}Dn(t)dt
1.Verifier que pour tous reels a et b , 2sin(b)cos(a)=sin(a+b)-sin(a-b)
2.En deduire par un raisonnement par recurrence que pour tout n1 et t[0;]:
Dn(t)=\frac{sin((n+\frac{1}2{)}t)}{2sin(\frac{t}2{})}
3.On pose g(t)=\frac{\frac{t^2}{2\pi}{-t}}{2sin(\frac{t}2{})} si t[0;] et g(0)=-1
3.1.Prouver que g est continue en 0
3.2.Montrer que , pour tout n1, In=\int_{0}^{\pi%20}{gt(sin(n+\frac{1}{2})t)}dt ,
4.On pose pour x]0;\frac{\pi }{2}[, h(x)=\frac{sinx}{x}
4.1.Montrer que h est derivable sur ]0;\frac{\pi }{2}[ et que le signe de h'(x) est du signe de (x)x-tanx
4.2.Etudier le signe de (x) en etudiant les variations de
4.3.En deduire que la fonction h est decroissante sur ]0;\frac{\pi }{2}[
4.4 Pour tout t]0;\pi[, demontrer l'encadrement:-\frac{\pi%20}{2}\leq g(t)\leq \frac{-1}{2}
5.On pose pour tout n1, An(t)=\int_{0}^{\pi }{sin((n+\frac{1}{2})t)}dt
5.1.Calculer l'integrale An
5.2.Montrer que pour tout n1, \frac{-\pi }{2}An\leq In\leq \frac{\pi }{2}An

5.3.En deduire la limite de In
6.Conclure a l'aide des questions precedentes la limite de (Un)

*** message déplacé ***

Posté par
lakere : Encadrement g(t) trigo, integrale 23-02-19 à 09:35

Merci Molotov79

*** message déplacé ***

Posté par
Molotov79re : Encadrement g(t) trigo, integrale 23-02-19 à 09:59

Y a pas de quoi , cette fois-ci je me suis assuré qu'il n'y ait pzs d'erreur

*** message déplacé ***


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