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Niveau quatrième
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largeur d'un couloir

Posté par
Tarissan
21-02-24 à 09:17

Bonjour,

Je suis confronté à un casse-tête mathématiques (niveau 3 ème d'après l'auteur) particulièrement ardu.
L'auteur de ce casse-tête (polytechnicien et ingénieur informatique) déclare que l'application des théorèmes de Thalès et de Pythagore n'est pas forcément pertinente pour résoudre le problème, mais que les différentes relations géométriques mises en œuvre conduisent à résoudre une équation du 4 ème degré !
Voici le casse-tête :
Deux échelles de respectivement 3 m et 4 m sont disposées en travers d'un couloir en formant une croix, de sorte que la base de chaque échelle est appuyée au bas d'un mur du couloir, et le haut de l'échelle  est appuyé au sommet du mur qui lui fait face.
Les 2 échelles se croisent à 1 m du sol.
Montrer que la largeur du couloir est de 2, 603... m.
…...
Compte du faible nombre de donnée numériques disponibles, je n'arrive pas à démarrer le moindre raisonnement.
Merci pour le coup de main.

Posté par
mathafou Moderateur
re : largeur d'un couloir 21-02-24 à 16:36

Bonjour,

c'est archi classique.
en tout cas avec Thalès appliqué deux fois et deux échelles quelconques dans un couloir quelconque

("vu le faible nombre de données" : bein on commence même par toutes les ignorer et à faire tout le calcul en littéral !)

on peut commencer par montrer que :

largeur d\'un couloir

AM.BN= PH(AM+BN)

ensuite Pythagore deux fois fournira une équation ... du 4ème degré en l'inconnue AB

il ne s'agit pas de la résoudre vu qu'on demande juste de vérifier que une de ses solutions est à peu près 2, 603 m

en tout cas résoudre une équation du 4ème degré se fait dans la pratique et en général par approximations numérique !

Posté par
mathafou Moderateur
re : largeur d'un couloir 21-02-24 à 17:15

PS : en fait l'équation du 4ème degré qui vient le plus naturellement n'est pas directement en l'inconnue AB mais en x = AM+BN

bof, une fois qu'on a AM+BN (et donc AM.BN !) on peut calculer AM (et BN) et en déduire AB. avec un Pythagore encore.

mais fi des équations, on demande de vérifier que le couloir de environ 2.603 m est solution
et là Pythagore donne AM et BN et on peut vérifier qu'ils satisfont à la relation citée précédemment.



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