un original ce prof de maths ! la veille du nouel an on travaille sur... le calendrier !
Voici l'exercice:
Un calendrier estun systeme élaboré par les hommes pour compter le temps. Le calendrier grégorien fut instauré en 1582 par le Pape Grégoire XIII : ce calendrier est encore en vigueur de nos jours.
En France, la réforme décida que le lendemain du 9 décembre1582 serait le 20 décembre 1582; cette réforme fut petit à petit appliquée dans tous les pays, mais avec beacoup de retard dans certains pays. Dans le calendrier Grégorien, les années bissextiles (comprenant 366 jours) sont celles dont le millésime est divisible par 4,  exeption faite des années séculaires ( c'est à dire celles dont le millésime se termine par deux zéros) qui ne sont bissextiles que si leur millésime est diviile par 400.
Ainsi l'année Grégorienne vaut :

365+ 1/4 - 3/400 = 365.2425 jours

Comme l'année tropique ( celle des saisons ) vaut en moyenne 365.2422 jours, l'écart est est donc de  0,0003 jour par an, soit 3 jours en 10 000 ans.
On va élaborer une méthode permettant de déterminer le jour de n'importe quelle date du calendrier (grégorien !). Pour cela, on choisit une année origine et on compte le nombre de jours qui se sont écoulés depuis, dans le calendrier grégorien.
Il est simple de choisir le lendemain  du 31 décembre de l'année 0  (!!) comme point de départ.

On note :

n : nombre de jours écoulés depuis l'origine choisie ;
a : numéro de l'année depuis l'origine ;
m : numéro du mois dans l'année (1 pour janvier, 2 pour février,... );
r : nombre de jours écoulés depuis le début de l'année (sauf le 29 février si l'année est bissextile).

On note aussi E(x) la partie entière du réel x, c'est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x.


1.a. Montrer que, pour m 2 :

n=365(a-1)+ E[(a-1)/4]-E[(a-1)/100]+E((a-1)/400]+r.

    b. Dans le cas où m est supérieur ou égal a 3, établir une formule similaire donnant n en fonction de a et de r.

2.a. Calculer n pour la date d'aujourd'hui ;
    
    b. Calculer le reste de la division euclidienne de n par 7 : que représente-t-il ?
  
    c. Peut-on alors déterminer le jour de la semaine du 14 juillet 1789 ?

  3. On veut à présent  simplifier les deux formules trouvées ci-dessus. Poir cela, on note :
j : quantième du jour dans le mois ;
f(m) le nobre de jours écoulés du début de l'année jusqu'à la fin du mois numéro m.

   a. Déterminer le reste de la division euclidienne de f(m) par 7, pour m vcariant de 1 à 11 ;

    b. Montrer alors que, pour m 2 ;

n   a-1+E[(a-1)/4]-E[(a-1)/100]+E[(a-1)/400]+f(m-1)+j(7).

     c. Ecrire une formule similaire dans le cas m   3.

     d. Quel est le jour de la semaine du 1er janvier 1900 ? du 8 décembre 2050 ?

Voila c'est tout