pour la question 1) c'est bien de reprendre l'enoncé du théoreme mais il faut le cité. D'après le théoreme des milieux ...

dans la question 2) c'est J qui est milieu de [AC], pas B'. c'est domage de faire une erreur bete
sinon meme remarque pour le théoreme des milieux.
Par contre, ce n'est pas parce qu'un quadrilatère à des cotès parallèles deux à deux qu'il est rectangle. Pour contre exmple : le losange. il faut soit montrer que les cotés opposés sont egaux, soit montrer que trois des angles sont droits (le quatrième l'etant forcément).

3)démontrer que les segments [FJ], [KG], [EI] ont le même milieu, puis que les points E, F, G, I, J, K appartiennent à un même cercle W.

1ère partie: là je vois vrément pas comment démontrer...tout ce que je sais c'est que (EI) est la bissectrice de BÂC, (KG) la bissectrice de A^CB et (EI) la bissectrice de BÂC (l'intersection de ces bissectrices formes le centre du cercle inscrit au triangle ABC)
2èm partie: touts les points sont sur le cercle inscrit au triangle ABC mais je ne sais pas démontrer...

merci

alors pour le probleme du paralellogrmamme qui n'est pas forcément un rectangle ...
je te conseille de passer par l'orthogonalité des cotés :

pour le rectangle (KJGF) en reprennant depuis le debut :

Dans le triangle AHC, J et G sont les milieu respectifs de [AC] et [HC]. donc d'après le théorème des milieux, les droites (JG) et (AH) sont parallèles.
De même dans le triangle ABH nous retrouvons que les droites (KF) et (AH) sont parallèles.  
En suivant le même résonnement dans le triangle ABC, nous pouvons en deduire que (KJ) est parallèle à (BC).
Toujours d'après le théoreme des milieux dans le triangle HBC, les droites (BC) et (FG) sont parallèles.
Comme (AH) est parallèle aux droites (KF) et (JG), alors (KF) est parallèle à (JG), et comme (BC) est parallèle aux droites (GF) et (KG), alors (GF) est parallèle à (KG).
Or (AH) qui est confondue à (AA') puisque H appartient à la droite (AA') est hauteur du triangle ABC donc (AH) est perpendiculaire à (BC). Puisque (KF), (JG) et (AH) sont parallèle comme (BC), (FG) et (KJ), et comme (AH) est perpendiculaire à (BC) alors (KJ) et (FG) sont perpendiculaires à (JG) et à (KF).
Nous avons donc un quadrilatère KFGJ dont les cotés sont parallèles deux à deux et où (KJ) est perpendiculaire à (JG) alors c'est un rectangle.

alors pour cette question 3),

la première partie n'est pas très compliquée. Il faut confidérer le rectangle FKJG dont les diagonales ce coupent en leur milieu, disons, M. Donc M milieu de [FJ] et de [KG]. Puis on a prouvé aussi dans la question 2) que FEJI est un rectangle donc les diagonales se coupent aussi par leur milieu M'. Donc M' est milieu de [FJ] et de [EI]. Or M est déjà le milieu de [FJ] donc M et M' sont confondus et [FJ] [EI] et [KG] ont leur milieu confondus.

Il faut maintenant montrer que les segments ont meme taille donc que M est equidistant des points E, F, G, I, J, K ...

petite aide : les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu mais ont aussi la même taille (ce qui les différnetie des losange qui n'ont pas les diagonales de même longueur)