Niveau autre

le gradient conjugué

Posté par jiju33 (invité) 09-12-07 à 15:02

bonjour à tous, voilà un problème qui me donne du fil à retordre.

Je m'emmêle dans la récurrence et donc j'aimerais avoir votre aide s'il vous plaît !
Ce problème est un classique des méthodes de résolution de Ax=b A étant une matrice symétrique définie positive
ce problème est équivalent à minimiser la fonctionnelle f(x) = $3$\frac{1}{2}x^TAx-b^Tx$
Pour fixer les idées pour la suite les $r_k$ sont les vecteurs résidus $d_k$ les vecteurs de direction de recherche, les $\alpha_k$ des réels symbolisant un pas, et les $\beta_k$ des réels servant à la conjugaison des vecteurs $d_k$

Les notations :
* $r_k=Ax_k-b$
* $E_k=Vect(r_0,Ar_0,...,A^kr_0)$

Conditions initiales :
* $x_0$ quelconque
* $d_0=-r_0$

On considère le schéma itératif suivant :
* $3$x_k = x_{k-1} + \alpha_{k-1}d_{k-1}$
* $3$d_k=-r_k+\beta_kd_{k-1}$ avec $\beta_k=\frac{r_k^TAd_{k-1}}{d_{k-1}^TAd_{k-1}}$

Montrer par récurrence :

* $4$Vect(r0,...,r_k)=E_k$
* $4$Vect(d0,...,d_k)=E_k$
* $4$d_k^TAd_i=0, \forall i=0,...,k-1$

Voici mon avancé :
P(0) OK
Supposons P(k) et montrons P(k+1)

* $r_{k+1}=r_k+\alpha_kAd_k \in E_{k+1}$ donc $4$Vect(r0,...,r_{k+1})\subset E_{k+1}$
* $d_{k+1}=-r_{k+1}+\beta_kd_k \in E_{k+1}$ donc $4$Vect(d0,...,d_{k+1})\subset E_{k+1}$

* $4$d_{k+1}^TAd_k = 0$ (le $\beta_k$ a été choisi pour)
Mais je ne vois pas pourquoi en utilisant l'hypothèse de récurrence on arrive à montrer
$d_{k+1}^TAd_i=0 , i=0,..,{k-1}$
Pourquoi est il A-conjugué à ceux d'avant ??

$3$d_{k+1}^TAd_i = -r_{k+1}^TAd_i + \beta_kd_k^TAd_i = -r_{k+1}^TAd_i + 0$

Merci,
Julien

Posté par jiju33 (invité)re : le gradient conjugué 10-12-07 à 20:25

petit

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