Niveau Licence-pas de math

Le module est holomorphe?

Posté par
Zert 12-04-21 à 23:50

Bonjour,

Je pense que la fonction module n'est pas holomorphe mais je ne vois pas comment le démontrer. Dans mes recherches je vois toujours que la conjugaison n'est pas holomorphe.

Je cherche une démonstration.
J'ai pensé à utiliser le théorème de Liouville en disant que si je prends(pour z fixé complexe) la fonction g(h) = (mod(z+h)-mod(z))/h en supposant par absurde que mod est holomorphe( g est une fonction de C dans C)
Comme |g(h)| <= 1 pour tout h non nul, g est bornée et une fonction entière donc elle est constante, et il existe un nombre a complexe tel que g(h) = a et donc |z+h|-|z|= a*h.
a*h doit forcément être réel et donc nécessairement a est nulle et nous avons que |z+h|-|z| = 0 pour tout h complexe(différent de 0) ce qui est faux.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Le module est holomorphe? 12-04-21 à 23:58

Peut être que j'ai plus simple,

si z->|z| est holomorphe alors z-> |z|² = z bar(z) aussi donc aussi z-> |z|²/z = bar(z) ce qui est absurde car la conjugaison n'est pas holomorphe.

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 09:24

Bonjour,

Aucune fonction $\C\to \R$ n'est holomorphe, sauf si elle est constante.

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 13:32

Le théorème de l'application ouverte plie effectivement la question.
Tu peux aussi appliquer le théorème de Cauchy-Riemann pour pour montrer que |f| n'est jamais une fonction holomorphe.

Sinon, encore une autre méthode : si le module était holomorphe en zéro, on aurait pour tout r>0 (formule de Cauchy)

$0 = 2\pi i|0| = \int_{C(0,r)} \dfrac{|z|}{z-0}dz = \int_0^{2\pi} \dfrac{r}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta = 2\pi i r \neq 0$ .
Absurde.

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 13:47

Théorème de l'image ouverte, pardon

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 14:06

Pourquoi ce rectificatif ? Une fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de $\C$ est bien ouverte.

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 15:23

Le théorème de l'application ouverte est un autre théorème, qui dit qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces de Banach est ouverte. On l'appelle aussi théorème de Banach-Schauder.

C'est différent du théorème de l'image ouverte, qui dit qu'une fonction holomorphe non constante est ouverte.

Posté par re : Le module est holomorphe? 13-04-21 à 15:50

Dans les deux cas, on dit bien qu'une application est ouverte.