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Le nombre X

Posté par
Oile
01-10-23 à 15:11

Bonjour, j'ai un exercice à faire et je ne comprends pas comment m'y prendre à une certaine question :
Voici le sujet :

On considère le Nombre X dont l'écriture décimale est 4.969696...
On admettra que ce nombre est un nombre rationnel. Les points de suspension après le 6 indiquent que la séquance des chiffres "96" se répète à l'infinis dans cette même écriture décimale.
X = 4.\bar{96}
L'objectif de cet exercice est de déterminer l'écriture de X sous la forme d'une fraction irréductible.
On pose, pour tout entier naturel n non nul, u_{n} = 4 + \frac{96}{100} + \frac{96}{100^{2}} +... + \frac{1}{100^{n}}
1. Quel est le lien entre le nombre X et le suite (Un) ?
2. Exprimer la somme suivante en fonction de n, S_{n} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100^{2}} +... + \frac{1}{100^{n}}
3. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
4.
a. Calculer la limite de la suite (Un).
b. En déduire l'écriture fractionnaire et irréductible du nombre X

Pour l'instant, J'ai dis que la suite représentait le nombre infinis de chiffre après la virgule du nombre X, en fait que la suite représente tout simplement le nombre X.
Et pour la question 2, je  bloque, je ne comprends pas comment faire pour obtenir la Somme en fontion de n sachant que nous ne savons pas si la suite est une suite géométrique ou arithmétique.

J'aurais besoin d'un petit peu d'aide pour me débloquer, merci d'avance à ceux qui pourront m'aider ! ! !

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre X 01-10-23 à 15:18

bonjour

ben si tu le sais (pour 2), regarde bien

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 15:39

C'est une suite arithmétique ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:14

Bonjour,
Je réponds en l'absence de malou qui reprendra dès qu'elle le voudra.

La suite (Sn) n'est ni arithmétique ni géométrique.
Par contre Sn est une somme dont les termes sont 1/100k pour k de 1 à n.
Par quelle opération passe-ton de 1/100 à 1/1002 ?

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:25

On passe de 1/100 à 1/100^{2} en multipliant par 1/100

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:27

Oui. Et quel est le terme suivant de la somme ?

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:34

1/100^{3} car on multiplie par 1/100

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:34

Quand on multiplie par une constante, on doit penser à quoi ?

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:38

Au signe de cette constante ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:45

Citation :
La suite (Sn) n'est ni arithmétique ni géométrique.
Par contre Sn est une somme dont les termes sont 1/100k pour k de 1 à n.
Les termes de cette somme forment une suite :
1/100, 1/1002, 1/1003, ...., 1/100n
Cette suite est ... ?

Je ne vais plus être disponible pendant 1h30 environ.

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 16:46

Si elle n'est ni arithmétique, ni géométrique, je ne vois pas ce qu'elle est ...

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre X 01-10-23 à 17:09

Sylvieg t'a dit non pour Sn
Mais la suite des termes ... celle-là tu peux dire qu'elle est ...

Posté par
Oile
re : Le nombre X 01-10-23 à 17:20

Ha, je n'avais pas bien compris, du coup, je pense que la suite des termes est une suite géométrique car on multiplie par 1/100 pour passer d'un terme à l'autre
Mais je ne comprends pas en quoi cela va m'avancer ...

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre X 01-10-23 à 18:11

Maintenant que tu l'as reconnue, tu as une jolie formule pour calculer la somme de ces termes
Et donc tu peux bien calculer Sn

Posté par
Oile
re : Le nombre X 02-10-23 à 09:23

D'accord, j'ai calculé la somme et je trouve Sn = 1/100 *(1-(1/100)^n)/1-(1/100))

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre X 02-10-23 à 09:58

Avec une parenthèse autour du dénominateur
Ok
Tu peux simplifier un peu



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