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Le nombre d'or

Posté par
pfff
11-05-20 à 20:03

Bonjour je n'arrive pas à démontrer ça

Énoncé

On considère la suite numérique (U_n) définie par : u_0 = 1 et n , u_n_+_1 = 1 + 1/u_n

1. Démontrer par récurrence que :
n , u_n 1.

2/ On pose = ( 1 + √5 ) / 2
Vérifier que : = 1 + 1/

est appelé le nombre d'or .
Je bloque sur la question 2.

Voici comment j'ai fait :

1+1/( (1+5) / 2 ) = 1 + 2/(1+√5)
                                    = ( 3 + √5 ) / ( 1 + √5 )

Et la je suis bloqué
  

Posté par
pgeod
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:06

multiplie en haut et en bas par (1 + 5) puis simplifie

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:08

A partir d'où ?

Posté par
pgeod
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:08

de là où t'étais bloqué.

Posté par
alma78
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:12

Bonsoir,
Ce serait pas plutôt (1-5) ?

Posté par
Armen
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:12

C'est peut-être plus facile de vérifier que \phi^2=\phi +1.
Une idée comme ça, en passant ...

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:16

\large \frac{ 3 + \sqrt{5} }{ 1 + \sqrt{ 5} } * \frac{ 1 + \sqrt{5} }{ 1 + \sqrt{5} } = \frac{ 3 + \sqrt{ 5}} { 1 + \sqrt{ 5} }

Ca revient au même

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:18

alma78 @ 11-05-2020 à 20:12

Bonsoir,
Ce serait pas plutôt (1-5) ?


J'ai déjà essayé ça ne passe pas

Posté par
alma78
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:23

Ah bon !
(1+5)(1-5) ça fait pas 1-5

Posté par
pgeod
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:27

Non ca ne revient pas au même.
Développe (1 + 5)²
ca va se simplifier ensuite avec le numérateur.

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:34

Oups désolé ça passe

\large \frac{ 3 + \sqrt{5} }{ 1 + \sqrt{ 5} } \times  \frac{ 1 - \sqrt{5} }{ 1 - \sqrt{5} } = \frac{-2\sqrt{5}-2 }{-4} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}


Merci beaucoup alma78

malou edit > formules Ltx corrigées
le signe "multiplier" s'écrit \times

Posté par
alma78
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 20:42

Je t'en prie

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 21:46

Bonsoir , je ne peut pas faire cette question de même :

Démontrer que : n .
|U_n_+_1 - |   \frac{1}{\varphi }|U_n - |

Posté par
Armen
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 22:34

u_{n+1}-\phi = \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)-\left(1+\frac{1}{\phi}\right) =\cdots

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 11-05-20 à 22:58

u_{n+1}-\phi = \left(1+\frac{1}{u_{n}}\right)-\left(1+\frac{1}{\phi}\right) =   \frac{1}{U_n} - \frac{1}{\phi } = \frac{ \phi - U_n }{ \phi U_n }

La je vois plus trop
malou edit > formules Ltx corrigées

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 08:32

Bonjour pfff
tu te débrouilles très bein avec Ltx
mais une fois que tu ouvres ta première balise, vas jusqu'au bout de tes formules avant de mettre la balise de fermeture
tu enchaînes tout ce qui est signe =, etc....
et si tu veux passer à la ligne, ici (sur le forum) , normalement un simple "return clavier" fonctionne ; sinon, tu introduis \\
et tu fais aperçu avant de poster pour vérifier

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 08:58

Ah d'accord malou
Quand je fais l'aperçu et je vois ça j'essaie d'arranger et c'est quand j'y arrive pas je balance comme ça

Posté par
malou Webmaster
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:02

et n'oublie pas que tu peux toujours voir le code source des messages des autres (on apprend beaucoup ainsi)
exemple : sur mon message tu cliques sur
Le nombre d\'or

si cette agrafe n'st pas visible, va dans ta zone membre, mes préférences, puis dis oui à "source accessible"

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:16

Ah je vois c'est pratique je vu dans l'aperçu
Merci !

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:18

pfff @ 12-05-2020 à 09:16

Ah je vois c'est pratique je vu dans l'aperçu
Merci !


j'ai

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:42

Hormis tout ça, j'ai besoin d'une vérification pour ce que j'ai fait

on a : u_{n+1}-\phi = \left(1+\dfrac{1}{u_{n}}\right)-\left(1+\dfrac{1}{\phi}\right) =   \dfrac{1}{U_n} - \dfrac{1}{\phi } = \dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n }


| \dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } | | - \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } |

                   | \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } |
                  
or  0  < \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi } | \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } | |\dfrac{ U_n - \phi }{ \phi } |

d'ou | \dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } | | \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } | | \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi } |

donc | \dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } | | \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi } | |u_{n+1}-\phi | \dfrac{1}{\phi} | U_n - \phi |

malou edit > ai modifié le \frac en \dfrac et penser à utiliser les et de l'éditeur Ltx pour ne pas couper les formules

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:42

bonjour,

et pour le LaTeX, le mieux plutôt que de taper du code est d'utiliser l'éditeur LaTeX de l'ile
Le nombre d\'or

on voit au fur et à mesure de la frappe le résultat dans l'éditeur ! c'est top, plutôt que de faire des aller -retour entre Aperçu et saisie pour corriger

Le nombre d\'or
(j'ai saisi une formule au pif, hein)
quand c'est bon dans l'éditeur, on clique sur "Insérer dans la zone de texte"
et tout le code LaTeX, balises comprises, est mis dans la zone de saisie du message là où on en était

les aller retour avec Aperçu ne concernent alors que la mise en page
attention si on déplace du texte à ne pas détruire les balises !

la plupart des symboles et codes LaTeX sont obtenus juste en cliquant par les menus déroulants de l'éditeur

on a le droit de modifier \frac en \dfrac, qui n'existe pas dans les menus (dommage ...), ou de taper du code qu'on ne trouve pas dans les menus (très rare !!)
certains symboles n'ont pas de code
ainsi dans l'éditeur < se tape < au clavier et pas un truc qui n'a rien à voir pêché dans un menu,
= se tape = etc
(et encore une fois toute une formule entières, signes = < ≤ etc compris, d'un seul tenant dans un seul bloc LaTeX et pas par petits bouts, et encore moins en mélangeant avec des symboles spéciaux de l'ile du gras ou etc

si on veut mettre du texte au sein d'une formule (très rare) il faut le mettre dans un bloc \text{ ...} dans le code
sinon chaque lettre du texte est comprise comme une variable, les espaces sont supprimés etc

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:43

"d'un seul morceau, signes | compris dans le code LaTeX et pas par petits bouts ..."

**
| ... | est un bouton de menu de l'éditeur

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:44

merci , mathafou j'utilise déja ça aussi

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 09:48

c'est ce que j'ai utilisé pour envoyer ma piste de réflexion que j'aimerais bien que quelqu'un corrige (Voir message de 09h42)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 10:09

non
tu as intercalé des caractères | de texte ordinaire entre des morceaux séparés de LaTeX et même des symboles de l'ile au lieu du code LaTeX de ce symbole pris dans les menus de l'éditeur

ton code : (cité par un geek pour faire apparaitre les balises

| [tex]\frac{ \phi - U_n }{ \phi U_n }[/tex] | [smb]infegal[/smb] | [tex]\frac{ U_n - \phi }{ \phi U_n }[[/tex] | [smb]infegal[/smb] | [tex]\frac{ U_n - \phi }{ \phi }[/tex] |

avec visiblement des tas de blocs LaTeX, mélangés avec autre chose , des symboles de l'ile,des caractères | entre des blocs etc

correct est

[tex]|\frac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } | \le | \frac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } | \le | \frac{ U_n - \phi }{ \phi }|[/tex]

|\frac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } | \le | \frac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } | \le | \frac{ U_n - \phi }{ \phi }|

un seul et unique bloc LaTeX pour toute la formule

mieux : avec les | du menu de l'éditeur et des dfrac au lieu de frac

\left|\dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n } \right| \le \left| \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi U_n } \right| \le \left| \dfrac{ U_n - \phi }{ \phi }\right|

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 11:03

Ok

on a : u_{n+1}-\phi = \left(1+\dfrac{1}{u_{n}}\right)-\left(1+\dfrac{1}{\phi}\right) =   \dfrac{1}{U_n} - \dfrac{1}{\phi } = \dfrac{ \phi - U_n }{ \phi U_n }

\large |\frac{ \varphi - U_n}{\varphi U_n}| \leq |\frac{U_n - \varphi }{\varphi U_n}|
                \leq \frac{1}{\varphi U_n}}|U_n - \varphi |

or  U_n \geq 1 \Leftrightarrow \varphi U_n \geq \varphi
                         \Leftrightarrow \frac{1}{\varphi U_n} \leq \frac{1}{\varphi }


\large |\frac{ \varphi - U_n}{\varphi U_n}| \leq \frac{1}{\varphi U_n}}|U_n - \varphi |  \leq  \frac{1}{\varphi }|U_n - \varphi |

d'ou | \frac{\varphi - U_n}{\varphi U_n}| \leq \frac{1}{\varphi } |U_n - \varphi |

en conclusion | U_n_+_1 - \varphi | \leq \frac{1}{\varphi } |U_n - \varphi |

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 11:25

Alors ???

Posté par
mathafou Moderateur
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 11:31

Oui pour le calcul.

quant au LaTeX ... pas mal ! d mieux en mieux mais :
on ne "grossit" pas un \frac en passant en \large, mais avec \dfrac
et puis si tu commences tes calculs avec \phi tu les poursuis avec \phi et pas \varphi
ou vice versa.


(on ne parlera pas de la façon d'écrire des formules LaTeX de plusieurs lignes avec alignement c'est réservé aux pros )

Posté par
pfff
re : Le nombre d'or 12-05-20 à 11:47

.Ok merci !
Au prochain message je ferai encore mieux



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