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Le petit theorème de Fermat
j'avais un exercice à faire sur le théorème de Fermat mais on ne l'a pas corrigé et je ne comprend pas si quelqu'un peut m'aider, voilà l'enoncé:
n est un entier naturel
1) Démontrer que n7 - n est divisible par 7. Pour cette question la prof m'a dit de faire 2 cas un cas où n est est divisible par 7 et un autre où n n'est pas divisible par 7. Mais je ne vois pas comment faire, j'ai un peu de mal avec ce théorème...
2) En utilisant les congruences démontrer que n7 - n est divisible par 6. Je pense que je pourrais répondre à cette question après avoir fait la 1).
Je suis un peu perdue et en plus j'ai un contrôle lundi là dessus donc si quelqu'un peut m'éclairer un peu ça m'aiderai beaucoup!
Merci d'avance
1) Démontrer que n7 - n est divisible par 7.
n7 - n = n (n6 - 1)
1° cas :
n 
0 [7] => n (n6 - 1) 0 [7]
2° cas :
n7 - n = n (n6 - 1) 0 [7]
------- or 7 ne divise pas n => n et 7 premiers entre eux
<=> (n6 - 1) 0 [7]
<=> n6 1 [7]
disjonction de cas :
n 1 => n6 1 [7] VERIFIE
n 2 => n6 1 [7] VERIFIE
etc...
...
Bonjour 
Pour la question 1, tu sais que n6 - 1 est divisible par 7 si n est premier avec 7. C'est le th. de Fermat avec p = 7.
7 étant un nombre premier, le fait que n soit premier avec 7 signifie que n n'est pas divisible par 7.
Dans ce cas, comme n6 - 1 est divisible par 7, il en est de même à plus forte raison pour n7 - n = n(n6 - 1)
Si n est divisible par 7, il en est de même de n7 et donc de n7 - n.
bonjour frenicle
Tel que la question est posée, je n'ai pas su si notre
intervenant attend une réponse en utilisant Fermat ou pas.
Comme ça, il a au moins les 2 formes de réponse.
...
Merci pour vos réponse je pense avoir compri et je ne sais pas si on devait untiliser fermat...
Par contre je ne comprends pas pourquoi on doit un faire un cas ou n est divisible par 7 et un autre où il ne l'est pas.
n7 - n = n(n6 - 1) est un produit de deux facteurs : n et n6 - 1
Si n est divisible par 7, le premier facteur (n lui-même !) est divisible par 7 (mais pas le deuxième).
Si n n'est pas divisible par 7, le deuxième facteur (n6 - 1) est divisible par 7, d'après Fermat (mais pas le premier).
Il n'y a plus qu'à rassembler les morceaux.
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