Bonjour à tous.

Besoin d'aide pour un exercice subtil à rendre samedi :  
On construit à l'extérieur d'un triangle ABC trois triangles équilatéraux BA'C, CB'A et AC'B, de centres respectifs P, Q et R. ( a=BC ; b= AC ; c= AB avec Angle BAC= alpha ; angle ABC= bêta ; angle ACB= thêta )

Il s'agit d'établir que PQr est un triangle équilatéral.
1) Justifier chacune des égalités suivantes :
AQ= (( racine carrée de 3) / 3) multiplié par b.
AR= (( racine carrée de 3 ) / 3) multiplié par c.
Angle RAQ = alpha + 60°.
En déduire que : RQ²= 1/3 ( b²+c²- b*c*cos alpha + racine carrée de 3 * b * c * sin alpha )

2) Exprimer cos alpha en fonction des côtés a, b et c ( je pense qu'il faut utiliser Al Kashi mais j'ai des doutes ) du triangle ABC et montrer que :

RQ²= 1/6 ( a²+b²+ c²) + (( 2*(racine carrée de 3))/3)*S ( S étant l'aire du triangle ABC)

3) Prouver que PQR est équilatéral.

P-S. : * signifie "multiplié par"
Si vous connaisez une méthode pour afficher les racines carrées faites-le moi savoir . Merci beaucoup pour tout !  

salut
pour la 1 il y a plusieurs possibilites pour AQ et AR.

pour AQ (je ne donne que les grandes lignes a toi de bien justifier tout ca)
comme AB'C est equilateral, centre=centre de gravite=orhotcentre...
donc AQ=2/3*hauteur passant par A de AB'C.
uilisation du theoreme de Pythagore et :
hauteur^2=b^2-b^2/4=3/4*b^2
donc AQ=2/3*(rac(3)/2)*b.

sinon du meme principe :
(B'Q) est mediatrice de [AC]
I milieu de [AC] donc IA=IC=AC/2=b/2 et AQI rectangle en I.
(AQ) bissectrice de l'angle (CAB')

donc angle(CAQ)=(Pi/3)/2=Pi/6
donc AQ/AC=cos(Pi/6)=rac(3)/2

meme chose pour AR

angle(RAQ)=angle(RAB)+angle(BAC)+angle(CAQ)
(RA) bissectrice de angle(BAC') donc angle(RAB)=Pi/6
meme chose pour angle(CAQ)=Pi/6 (car (AQ) bissectrice)
donc angle(RAQ)=alpha+Pi/3
c'est a dire angle(RAQ)alpha+60° (si on veut donner l'egalite en degre et non en radians)

pour RQ^2 on connait AQ et RA et l'angle(RAQ), c'est ici qu'il faut utliser le theoreme d'AL Kashi pour le triangle ARQ

2) utilisation du meme theoreme.
la valeur de cos(alpha) trouvee doit etre utilise dans l'egalite demontree dans la question precedente.

reste sin(alpha)
soit h la hauteur de ABC issue de B.
on a h=c*sin(alpha)
donc S=h*b/2=b*c*sin(alpha)/2
donc sin(alpha)=2*S/(b*c)
on utilise ce dernier resultat dans l'egalite en question et on doit avoir le resultat demande.

3) en considerant le point A au coeur de notre raisonnement (les questions 1 et 2 ont ete le fil directeur de ce raisonnement) on aboutit au
fait que RQ^2=expression(a,b,c) (j'ai la flemme d'ecrire le tout, ne pas a faire sur ta copie)

par des raisonnements de meme type ou les points B et C interviennent successivement a la place de A
on a RP^2=expression(a,b,c)
et QP^2=expression(a,b,c)

pour t'en convaincre donnons l'exemple de RP^2 :
1bis)montrer que BR=rac(3)/3*c
BP=rac(3)/3*a
angle(RBP)=beta+Pi/3
en deduire que RP^2=1/3*(c^2+a^2-a*c*cos(beta)+rac(3)/3*a*c*sin(beta)
2bis)exprimer cos(beta) en fonction de a,b,c
et montrer que
RP²= 1/6 ( a²+b²+ c²) + (( 2*(racine carrée de 3))/3)*S ( S étant l'aire du triangle ABC)
(tout ceci est a verifier j'ai p'tet mis un a a la place d'un b ou une autre inversion...)

MEME CHOSE POUR 1ter et 2ter (pour PQ^2)
ce qui nous permet de dire que
PQ^2=RP^2=RQ^2
donc PQ=RP=RQ => triangle PQR equilateral.

a+
ps. pour les racines carrees
il faut ecrire [ tex]\sqrt{ce que je veux mettre sous une racine}[ /tex]
sans les espaces dans [ tex] et dans [ /tex]
ce qui donne :

T'est trop fort ! T'impose le respect ! Je te respecte et je te remercie : tu m'as sauvé d'un zéro pointé.

n'exagerons rien mais je te remercie du compliment
ca fait chaud au coeur.

a+

petite erreur :
donc angle(CAQ)=(Pi/3)/2=Pi/6
donc AQ/AC=cos(Pi/6)=rac(3)/2

non ! :
donc angle(CAQ)=(Pi/3)/2=Pi/6
donc AQ/AI=cos(Pi/6)=rac(3)/2
(desole faute de frappe)
comme AI=b/2 on a AQ=b/rac(3)=rac(3)*b/3

Salut
Merci pour ton aide précieuse.
Il reste une chose que je ne comprends pas : pour la question 1, j'ai réussi les justifications mais pour en déduire que RQ²=1/3(b²+c²-bc cos alpha+racine(3)bc sin alpha je bloque car j'arrive pas à faire intervenir sinus dans l'expression. Si tu pourrais tout m'expliquer sur ce calcul ce serait bien.

salut
on reprend :
d'apres le theoreme d'al kashi apphlique dans le triangle AQR et faisant intervenir l'angle (AQR) on a :
RQ^2=AR^2+AQ^2-2*AR*AQ*cos(AQR)

=>d'apres les egalites démontrees en 1)
on a :
RQ^2=(1/3)*(b^2+c^2)-2/3*(b*c*cos(alpha+Pi/3))

comme tu es premiere, tu as deja du voir ca :
cours => cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

application a=alpha b=Pi/3
donc cos(alpha+Pi/3)=cos(alpha)*cos(Pi/3)-sin(alpha)*sin(Pi/3)

cos(Pi/3)=1/2 et sin(Pi/3)=rac(3)/2
donc cos(alpha+Pi/3)=(1/2)*cos(alpha)-(rac(3)/2)*sin(alpha)

donc comme
RQ^2=(1/3)*(b^2+c^2)-2/3*(b*c*cos(alpha+Pi/3))
on a :
RQ^2=(1/3)*(b^2+c^2)-2/3*(b*c*[(1/2)*cos(alpha)-(rac(3)/2)*sin(alpha)])
donc RQ^2=(1/3)*(b^2+c^2)-(1/3)*b*c*cos(alpha)+(rac(3)/3)*b*c*sin(alpha)
je te laisse mettre 1/3 en facteur pour arriver au resultat.
a+

J'ai fini l'exercice et j'ai tout compris ! C'est grâce à toi "minotaure" et je ne t'oublierais pas !  
t'es vraiment un crack !

A+