Bonjour,
Non, ce n'est pas correct : qui te dit que est un polynôme ? Il ne l'est pas en général, car tu as oublié une hypothèse fondamentale : et sont premiers entre eux.

je doute justement sur le fait de savoir s'il faut utiliser cette hypothèse ou non car le but de l'exercice est de montrer le lemme de Bézout : ∃!(U, V ) ∈ (K[X])^2 | deg(U) < deg(B) ; deg(V ) < deg(A) ; AU + BV = 1
Cependant l'énoncé nous dit que A et B n'ont aucune racine complexe en commun, peut-on directement dire qu'ils sont premiers entre eux ? Il ne faut pas le démontrer ?

C'est bien cela, tu avais oublié l'hypothèse indispensable :  aucune racine complexe de n'est racine de (ce qui revient à dire que et sont premiers entre eux).
Je trouve que cet exercice prend l'arithmétique des polynômes par le mauvais bout, mais bon ...

D'accord merci ! Mais donc je n'ai pas besoin de démontrer que si A et B n'ont aucune racine complexe en commun alors A et B sont premiers entre eux ? Parce que rien ne le prouve au départ, non ?

Est-ce un problème de démontrer que   et ont un facteur non constant en commun si et seulement si ils ont une racine complexe en commun ?

Au fait, qui est K ?

d'accord merci. Et pour K vous parlez de K[X]?

Je te demande qui est K. Tu ne nous l'as pas présenté. Puisque tu parles de racines complexes, est-ce que K serait un sous-corps de ?

Rien n'est précisé mais puisqu'on parle de racines complexes K désigne  C logiquement

D'où vient cet exercicie ?

il s'agit d'un devoir maison

pour revenir à l'implication  B|AP ⇒ B|P
j'ai parlé avec un ami qui m'a montré une autre manière de le faire avec les racines, j'aimerais cependant savoir comment le rédiger :
Il dit que B|AP ⇒ B est racine de AP
or les racines de AP sont celles de A et P, or A n'admet aucune racine  en commun avec B donc c'est avec P que B partage ses racines d'ou  B|P
voilà mais je ne saurais pas comment le rédiger proprement, pourriez-vous m'aider à ce niveau la

On ne peut pas simplement faire une contraposée ici ?

B ne divise pas P ⇒ B ne divise pas AP car A et B n'ont aucunes racines complexes en communs donc sont premiers entre eux.
Alors on en déduit que B|AP ⇒ B|P

Ça revient au même que ce que tu as fais, mais je ne préfère pas dire de bêtises dans le doute !

D'accord merci de cette autre réponse intéressante aussi !
Sur la meme ligné j'aimerais avoir un peu d'aide pour savoir comment montrer que AB|P implique que A|P et B|P , avec P un polynôme et toujours les mêmes hypothèses concernant A et B
j'ai commencé par écrire que AB|P⇒ il existe un unique Q de K[X] tel que P=ABQ

pardon je me suis trompée ! c'est B|AP ⇒ B et AP ont des racines en communs, or les racines de AP sont celles de A et P, or A n'admet aucune racine  en commun avec B donc c'est avec P que B partage ses racines d'ou  B|P, c'est correct ainsi ?

et si justement, il s'agit d'un long problème, traité en plusieurs parties, et la première partie concerne l'algorithme d'Euclide.

Et qu'est-ce qui est montré sur l'algorithme d'Euclide ?
N'en déduit-on pas que si est pgcd de et , alors il existe des polynômes et tels que ?
Comment veux-tu qu'on te donne une aide pertinente si on ne sait pas ce qui est déjà établi ?

Chaque partie est indépendante et le but de chaque partie est de démontrer le lemme de Bézout de différentes manières donc on ne doit pas utiliser le fait qu'il existe des polynômes U et V tq D=AU+BV  

Je t'ai donné plus haut une indication sur comment procéder sans utiliser Bézout, en supposant qu'on est sur .
Pour montrer que divise , il ne suffit pas d'établir que toute racine de est racine de . Il faut aussi montrer que la multiplicité d'une racine de est inférieure ou égale à sa multiplicité comme racine de .