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Les espaces Euclidiens, exercice basique.
Bonjour, voila, je viens de commencer un cours sur les espaces euclidiens en cours et le moins que je puisse dire c'est que je suis larguée. Alors quand je dois faire un exercice a rendre, aussi basique soit-il, je galère. J'espère que vous me donnerez de l'aide !
Voici l'énoncé :
Dans (
^3) muni de son produit scalaire canonique, déterminer la matrice de la projection orthogonale sur la droite d'équations 6x=4y=3z.
Je n'ai aucun début de recherche ni même d'idée, c'est le trou noir..
En attendant des renseignements ! Merci d'avance, Claire.
Bonjour,
Tu cherches donc la projection orthogonale sur une droite vectorielle D={6x=4y=3z}.
La première chose à faire est de donner une base orthonormée de D, ensuite tu dois avoir dans ton cours l'expression d'une projection sur un sous espace vectoriel dont on a une base orthonormée non ?
Bonjour,
Je suis chimiste, donc, je peux ne pas être d'une clarté absolue !
On munit R³ de la base orthonormale canonique.
Soit F = vect((1,1.5,2)), le sev de la droite vectorielle de projection et e1 = 1/sqrt(1²+1.5²+2²)*(1,1.5,2), la base orthonormale de F dans R³
Soit v(x,y,z), un élément de R³ dans la base canonique, par définition du projecteur orthogonale p, on a : p(v) = (v.e1)*e1 = 1/sqrt(1²+1.5²+2²)*(x+1.5y+2z)*e1 = 1/sqrt(1²+1.5²+2²)²*(x+1.5y+2z)*e1 = (x+1.5y+2z)/(1²+1.5²+2²)*e1
Par contre, c'est plutôt maths spé, les espaces Euclidiens, non ?
@Narhm : je vais regarder dans mon cours de façon plus approprié, merci !
@Boltzmann_Solver : merci beaucoup pour ton aide, je regarde tout ça voir si je comprend le cheminement.. Et je ne sais pas si mon professeur de maths prend ses aises sur le programme mais en tout cas, je suis en Sup et cela fait maintenant deux semaines qu'on est la dessus !
J'ai commencé la rédaction avec ce que j'avais compris 
, voici ce que j'ai écrit :
- determination d'une base orthonormée de F
On note F le sous espace vectoriel de la droite D de projection, tel que : F = Vect(2,3,4)
Une base orthonormée de F dans est :
e1 = [1/
(2^2)+(3^2)+(4^2)]*(2,3,4)
- Expression de la matrice de la projection orthogonale sur F
Ici, je sais que pour écrire la matrice p il suffit de disposer d'une BON de F. En revanche je ne trouve pas l'expression dans mon cours comme me le suggérait Narhm..
Est-ce celle que me donne Boltzmann_Solver c'est a dire: p(v) = (v.e1)e1 ?
Et de cette formule comment en déduire la MATRICE de p ?
Question sur le cours : a quoi sert concrètement le produit scalaire canonique ? 
Dans ce cas, il va falloir démontrer deux trois trucs en plus. Je repasserai ce soir.
Ok, super ! Merci beaucoup !
Ok pour la BON de F.
Ici, je sais que pour écrire la matrice p il suffit de disposer d'une BON de F. En revanche je ne trouve pas l'expression dans mon cours comme me le suggérait Narhm..
En effet, si B=(e1,...,ek) est une BON de F, un s.e.v d'un espace euclidien (E,(.,.)) alors tu peux vérifier à la main que
A partir de cette application, tu peux en tirer son écriture matricielle dans une base appropriée non (quitte à revenir dans la base canonique par la suite) ?
Question sur le cours : a quoi sert concrètement le produit scalaire canonique ?
Le produit scalaire canonique est celui que tu as dans le plan, dans l'espace et donc tu as entendu parlé depuis la 1-iere. C'est grâce à lui que tu sais mettre un sens sur le mot "orthogonalité" en géométrie (des droites, plans etc ...) et ça te permet d'obtenir des angles, de les mesurer, d'avoir une notion de distance entre des éléments géométriques simples.
Bref, cela ajoute une structure très utile à un espace vectoriel réel.
Sinon les espaces euclidiens sont bien aux programmes de MPSI
En effet, après vérification dans un bouquin de sup, les E.E. de dimension 2 et 3 sont au programme de MPSI (comme vous l'avez deviné, j'ai pas fait MPSI^^).
Pour la matrice, j'ai l'impression que le sujet attend la réponse dans la base canonique, non ? Mais quelque soit la base, avec ma réponse, tu dois pouvoir construire la matrice directement, je suis d'accord avec Narhm.
Je te laisse entre ses mains. Il vaut mieux quelqu'un qui fait vraiment des maths^^.
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