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les fonctions exp a l aide !!!pour demain
salut à tous j'ai un exercice de maths pour demain et c l'horreur je ne comprend rien voici l'énoncé:
pour tout réel x positif , on définit les suites (Un(x)) et (wn(x)) sur N-{0} par :
Un(x)=(1+x/n)^n et Wn(x)=1+x/1!+x²/2!+...+x^n/n! où n!=n*(n-1)*...*2*1.
on rappelle que (Un(x)) converge vers exp(x) mais de manière lente
1-ecrire une relation simple entre Wn(x) et Wn+1(x)
2-Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,
Wn: x->Wn(x)est dérivable sur R+ et que W'n+1=Wn(x)
3-montrer que , pour tout réelx, e^x>ou=X+1
4-motrer per recurrence que pour tout entier naturel n non nul , la fonction
Dn:[0;+00[->R
x->e^x-Wn(x) est derivable croissante s'annule en 0 et quelle est positive.
voilà j'espere que vous pourrez me donner quelques pistes pour répondre à ces questions, merci d'avance
1)
Wn(x)=1+x/1!+x²/2!+...+x^n/n!
W(n+1)(x)=1+x/1!+x²/2!+...+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!
W(n+1)(x) - W(n)(x) = x^(n+1)/(n+1)!
W(n+1)(x) = W(n)(x) + x^(n+1)/(n+1)!
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2)
Pour le premier morceau, le smiley a mangé une partie de la question et
la rend incompréhensible.
(APPEL A ToM-PASCAL OU OCEANE : ne pourrait-on pas programmer l'affichage
des smileys pour rendre très improbable ce genre de problèmes?)
W(n+1)(x) = W(n)(x) + x^(n+1)/(n+1)!
W'(n+1)(x) = W'(n)(x) + [x^(n+1)/(n+1)!]'
W'(n+1)(x) = 1 + x + 3x²/3! + 4x³/4! + ...n.x^(n-1)/n! + [(n+1).x^n /(n+1)!]
W'(n+1)(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...x^(n-1)/(n-1)! + [x^n /n!]
W'(n+1)(x) = W(n)(x)
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3)
g(x) = e^x - (x + 1)
g'(x) = e^x - 1
g'(x) < 0 pour x < 0 -> g(x) décroissante.
g'(x) = 0 pour x = 0
g'(x) > 0 pour x > 0 -> g(x) croissante.
Il y a minimum de g(x) pour x = 0, ce min vaut g(0) = 1 - (0 + 1) =
0
Et donc g(x) >= 0 quel que soit x de R.
-> e^x - (x + 1) >= 0
e^x >= x + 1 quel que soit x de R.
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4)
Je te laisse continuer ...
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Sauf distraction.
Oui, il faudrait que je désactive un de ces jours cette séquence
pour le smiley :x.
En fait, il s'agit de : x (sans espace)
Du coup, ca arrive parfois que l'enoncé :
f : x --> 3x+1
se transforme en
f:x-->3x+1
si on laisse pas d'espace...
Mais une fois qu'on le sait que ":x" c'est ": x" , ca ne
dérange pas vraiment, j'y fais à peine attention : mais il faut
dire qu'à force je connais les codes des smileys de ce forum
par coeur...
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