Bonjour Al-khwarizmi;
Oui c'est correct mais je crois que si on définit la loi sur l'ensemble au lieu de le couple est bien un groupe commutatif (sauf erreur de ma part)

je ne trouve pas de neutre pour (R\{1,-1},*), est ce normal? et 1 me semble etre absorbant...

bonsoir Al-khwarizmi
je vois que tu as raison;* n'est donc meme pas une loi interne sur R.
Mais si on prend l'intervalle proposé par Elhor,soit ]-1,1[,* en fais un groupe:
0 son element neutre...

Bonsoir Machin !
Il n'y a même pas un groupe avec l'intervalle ]-1;1[ que vous proposez. Les opérations avec a et b ayant une valeur absolue supérieure à 1 donne un résultat d'une valeur absolue inférieure à 1 !

tu me rassure plumemeteore!!!

c'est ce que je pensais! j'allais commencer à me lamenter sur mon sort... mais si on prend G = ]-1;1[ munis de la loi * on a pas de groupe n'est ce pas?

Al-khwarizmi, d'aprés ton profil tu es en Sup donc tu dois sûrement connaître la fonction tangente hyperbolique
cette fameuse fonction:
(*)est une bijection de dans de bijection réciproque la fonction
(*)vérifie la relation
et ainsi tu vois qu'elle réalise un isomorphisme du groupe dans qui est par conséquent un groupe commutatif puisque isomorphe au groupe additif des réels.
Donc tu peux te rassurer sans te lamenter sur ton sort

Je me suis lourdement trompé dans mon dernier message; je croyais que ]-1;+1[ était l'intervalle interdit alors qu'au contraire c'est le domaine du groupe !
On voit facilement que le groupe est commutatif, que son neutre est zéro et que le symétrique de a est -a.
Reste à démontrer que la loi de composition est partout définie et associative.

PARTOUT DEFINIE
Premier cas : a et b sont de même signe.
soient m et n leurs valeurs absolues
il faut démontrer : m+n <? 1+mn
soit o la moyenne de m et n et e leur écart à cette moyenne
2o <? 1+o²-e²
e² <? 1+o²-2o = (1-o)²
e <? 1-o
e+o <? 1 : oui car e+o = m ou n, inférieurs à 1
Deuxième cas : a et b sont de signe contraire.
soient m et n la plus grande et la plus petite des valeurs absolues
il faut démontrer : m-n <? 1-mn
soit o la moyenne de m et n et e leur écart à cette moyenne
o+e-(o-e) <? 1-o²+e²
2e <? 1-o²+e²
o² <? 1+e²-2e = (1-e)²
o <? 1-e
e+o <? 1 : oui car e+o = m, inférieur à 1.

ASSOCIATIVE
(a*b)*c = (a+b)/(1+ab) * c
le numérateur du résultat est (a+b+c+abc)/(1+ab)
le dénominateur du résultat est 1 + c(a+b)/(1+ab) = (1+ab+ca+cb)/(1+ab)
le résultat est (a+b+c+abc)/(1+ab+ac+bc)
On voit que a, b, c jouent le même rôle qu'ils soient au départ à l'intérieur ou à l'extérieur du calcul de forme (x*y)*z. On aurait donc le même résultat avec par exemple (b*c)*a : la loi est bien associative.

AH ooookkkk!!!!! On avait fait la mem chose toi et moi plumemeteore! Donc ]-1;+1[ est le domaine du groupe! Là je suis d'accord, ouf, je pensais etre perdu!

Merci à vous deux

bonne fin de soirée à tous

Mais quel français! Excusez-moi, "on avait compris la meme chose" ou "on avait fait la meme erreur"... quand on veux dire deux choses à la fois.