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les matrices

Posté par
mau027 25-12-15 à 21:17

Bonsoir ! j'espère que vous passez de bonnes fêtes !
je viens pour un devoir de spé sur le calcul matriciel :

On fait réagir 2 substances chimiques A et B initialement en même proportion
A chaque minutes : 50% de A se transforme en B, le reste de A ne réagit pas
                                            20% de B se transforme en A, le reste de B ne réagit pas
On appelle an la proportion de A après n minutes de réaction
                          bn la proportion de B après n minutes de réaction
On note Pn la matrice colonne \\ \begin{pmatrix}an\\bn\end{pmatrix}

1/ Determiner la matrice R telle que Pn+1 = RPn
2/
a/ Verifier que R2-R=0,3(R-I3)
b) démontrer par récurrence que pour tout naturel n1 : Rn-Rn-1 = 0,3n-1(R-I3)
En deduire que \sum_{i=1}^n Ri-Ri-1=\frac{1-0,3^n}{0,7} (R-I3)
c) Justifier que \sum_{i=1}^n Ri-Ri-1 = Rn-I3

3/a/  justifier que Pn = Rn P0
b/ Exprimer an et bn en fonction de n
c/ que peut on en conclure quant aux proportions des substances en présence après un temps long de réaction

Bon après avoir pleurer de longues minutes mes vacances de Noel en voyant cet énoncé
Voici (le très peu de) ce que j'ai trouvé :
Je pense que R est une matrice carrée d'ordre 2 mais vu que je vois pas à quoi ressemble Pn+1 j'arrive pas à la trouver
je pense que je vais trouver une matrice du style 0,5an 0,2bn

Pouvez vous m'aidez ?
Et bonnes fêtes à tous

Posté par
sylvainc2re : les matrices 26-12-15 à 03:27

On peut construire les équations récurrentes:

an+1 = 0,5 an + 0,2 bn
bn+1 = 0,5 an + 0,8 bn

La premiere dit que 50% de a reste inchangé, et 20% de b devient a
La deuxieme que 50% de a devient b et 80% de b est inchangé.

Avec ca, tu peux construire la matrice R tel qu'indiqué à la question 1, et commencer à répondre aux autres questions.

Posté par
mau027re : les matrices 26-12-15 à 09:39

oui mais avec ça Pn+1 devient \begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}
donc : \begin{pmatrix}0,5an + 0,2bn \\0,5an + 0,8bn\end{pmatrix}
sauf que là ma matrice c'est une matrice colonne comme Pn, et du coup ma matrice R elle ne peut pas être carré, si je mets ça R ne peut être d'un réel

Et si je fais une matrice carré Pn+1   (0,5an 0,2bn)
                                                                                (0,5an 0,8bn)
Le quel est de chaque coté ? parce que je peux très bien faire (0,2bn 0,5an )
                                                                                                                                       ( 0,8bn 0,5an )

Et là du coup ma matrice R ne sera plus la même, je sais pas si tu vois ce que je veux dire :/

Posté par
lakere : les matrices 26-12-15 à 10:09

Bonjour,

Avec R=\begin{pmatrix}0.5&0.2\\0.5&0.8\end{pmatrix}, on a bien:

P_{n+1}=R.P_n

Posté par
mau027re : les matrices 26-12-15 à 10:11

Bonjour lake
On a le droit de multiplier une matrice à 1 colonne avec une matrice à 2 lignes ?

Posté par
lakere : les matrices 26-12-15 à 10:32

Il faut tenir compte de l' ordre:

Matrice (m lignes, n colonnes)\timesMatrice(n lignes,p  colonnes) --> Matrice(n lignes, p colonnes)

Tu remarques qu' il faut que le nombre de colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la seconde.

Ici, on calcule R.P_n

Donc une matrice(2 lignes, 2 colonnes) que l' on multiplie par une matrice (2 lignes, 1 colonnes)
On obtiendra bien une matrice(2 lignes, 1 colonne)

Mais tout ceci, c' est du cours...

Posté par
mau027re : les matrices 26-12-15 à 10:47

ah oui en effet c'est vrai les matrices ne sont pas commutatives, merci  de ton aide

Posté par
lakere : les matrices 26-12-15 à 10:51

Posté par
lakere : les matrices 26-12-15 à 11:07

Pour info et que tu puisses contrôler tes résultats, on trouve:

R^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2+5\times 0.3^n}{7}&\dfrac{2(1-0.3^n)}{7}\\\dfrac{5(1-0.3^n)}{7}&\dfrac{5+2\times 0.3^n}{7}\end{pmatrix}

Posté par
mau027re : les matrices 26-12-15 à 11:18

cependant c'est normal à la question 2a que ce soit I3 ?
parce que ma matrice R elle est d'ordre 2 j'ai pas le droit de soustraire une matrice 2 avec une I3

en plus j'ai testé avec une I3 ça marche

Posté par
lakere : les matrices 26-12-15 à 11:23

A mon avis, c'est plutôt I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Posté par
mau027re : les matrices 29-12-15 à 10:41

bon j'ai réussi la question 1 et 2a
j'ai commencé à faire la récurrence mais j'y suis bloqué
j'ai fait l'initialisation
et voici l'héridité : Supposons qu'il existe un entier k tel que Rk-Rk-1=0,3k-1(R-I2)
Demontrons que Rk+1-Rk-1+1=0,3k-1+1(R-I2)
                                     Rk+1-Rk=0,3k(R-I2)
On a : Rk-Rk-1
           Rk+1-Rk

J'ai démontré la premiere partie de l'equation mais après je n'y arrive pas...
Et je vous parle même pas de la déduction d'en dessous et des questions suivantes...

(et petite question a part, c'est moi ou ce DM est réellement difficile ?)

Posté par
mau027re : les matrices 29-12-15 à 10:42

lake @ 26-12-2015 à 11:07

Pour info et que tu puisses contrôler tes résultats, on trouve:

R^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2+5\times 0.3^n}{7}&\dfrac{2(1-0.3^n)}{7}\\\dfrac{5(1-0.3^n)}{7}&\dfrac{5+2\times 0.3^n}{7}\end{pmatrix}




oui j'ai une question 2d/ qui me demande de montrer que Rn est égal à cette matrice

Posté par
lakere : les matrices 29-12-15 à 11:16

2)b) Pour l' hérédité de la récurrence, on suppose donc que pour un certain rang n, entier naturel non nul fixé, on a:

R^n-R^{n-1}=0.3^{n-1}(R-I_2)  (hypothèse de récurrence).

Alors:

R_{n+1}-R_n=R(R^n-R^{n-1})=0.3^{n-1}R(R-I_2) (avec l' hypothèse de récurrence).

R^{n+1}-R^n=0.3^{n-1}(R^2-R)

Mais on sait d' après 2)a) que R^2-R=0.3(R-I_2)

Du coup R^{n+1}-R^n=0.3^n(R-I_2)

et l' hérédité est prouvée.

Citation :
(et petite question a part, c'est moi ou ce DM est réellement difficile ?)


Je pense que c' est surtout nouveau pour toi; tu manques probablement d' entrainement; pour progresser, il faut faire des exercices; d' ailleurs sécher sur un exo n' est pas du temps perdu: chercher (sans nécessairement trouver) permet aussi de s' améliorer

Citation :
oui j'ai une question 2d/ qui me demande de montrer que Rn est égal à cette matrice


Alors je ne me suis pas trompé; c' est déjà ça...

Si tu as des soucis pour la suite, tu postes; mais avant, cherche un peu: ce sera tout bénéfice pour toi.

Posté par
mau027re : les matrices 30-12-15 à 14:09

bon j'ai abandonné les question 2,b,c,d et la déduction et 3a parce que je comprends vraiment pas comment on peut faire,

cependant j'ai fais 3b :

\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2+5*0,3^n}{7} \frac{2-2*0,3^n}{7}\\\frac{5-5*0,3^n}{7} \frac{5+2*0,3^n}{7}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

a_n= \frac{4+3*0,3^n}{7}
b_n=\frac{10-3*0,3^n}{7}

et pour la question 3c, il me suffit de faire la limite de an et de bn en +∞

Est ce que je suis sur une bonne piste ?

Posté par
lakere : les matrices 30-12-15 à 20:11

Non!

Citation :
On fait réagir 2 substances chimiques A et B initialement en même proportion


\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2+5*0,3^n}{7} \frac{2-2*0,3^n}{7}\\\frac{5-5*0,3^n}{7} \frac{5+2*0,3^n}{7}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix}

Citation :
bon j'ai abandonné les question 2,b,c,d et la déduction et 3a


Je te signale que la 2)b) (l' hérédité de la récurrence) est faite au dessus à 11h16

puis \sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})=\sum_{i=1}^n0.3^{i-1}(R-I_2)=(R-I_2)\sum_{i=1}^n0.3^{i-1} (la somme de n termes consécutifs de suite géométrique de raison 0.3 et de premier terme 1)

\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})=(R-I_2)\dfrac{1-0.3^n}{1-0.3}

\boxed{\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})=\dfrac{1-0.3^n}{0.7}\,(R-I_2)} \\

2)c)\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1}) est une somme télescopique (où beaucoup de termes s' annulent sauf 2)

  Tu peux le constater en écrivant quelques termes:

   (\cancel{R^1}-I_2)+(\cancel{R^2} \cancel{-R^1})+(\cancel{R^3}\cancel{-R^2})+\cdots  +(\cancel{R^{n-1}}\cancel{-R^{n-2}})+(R^n\cancel{-R^{n-1}})=R^n-I_2

Plus formellement, on peut l' écrire comme ceci:

\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})=\sum_{i=1}^nR^i-\sum_{i=1}^nR^{i-1}

\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})=R^n+\sum_{i=1}^{n-1}R^i-(I_2+\sum_{i=1}^{n-1}R^i)=R^n-I_2

Bref, \boxed{\sum_{i=1}^n(R ^i-R^{i-1})==R^n-I_2}

2)d) Le calcul de R^n:

On a donc R^n-I_2=\dfrac{1-0.3^n}{0.7}\,(R-I_2)

d' où R^n=\dfrac{1-0.3^n}{0.7}\,(R-I_2)+I_2

   R^n=\dfrac{1-0.3^n}{0.7}\,\begin{pmatrix}-0.5&0.2\\0.5&-0.2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

On tombe bien sur la matrice annoncée plus haut:

  R^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2+5\times 0.3^n}{7}&\dfrac{2(1-0.3^n)}{7}\\\dfrac{5(1-0.3^n)}{7}&\dfrac{5+2\times 0.3^n}{7}\end{pmatrix}


3)a) se fait par récurrence (quasi immédiate) en utilisant P_{n+1}=R\,P_n pour l' hérédité.

3)b) \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{2+5*0,3^n}{7} \frac{2-2*0,3^n}{7}\\\frac{5-5*0,3^n}{7} \frac{5+2*0,3^n}{7}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix}

qui donne:

\boxed{\begin{cases}a_n=\dfrac{4+3\times 0.5^n}{14}\\b_n=\dfrac{10-3\times 0.5^n}{14}\end{cases}}

3)c) On a \lim\limits_{n\to +\infty}0.5^n=0

Donc \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\dfrac{2}{7}\text{ et } \lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\dfrac{5}{7}}

Posté par
mau027re : les matrices 30-12-15 à 21:07

Citation :
Je te signale que la 2)b) (l' hérédité de la récurrence) est faite au dessus à 11h16

oui je suis désolée,  je me suis trompée, c'était juste c) et d)


Merci de ton aide, j'ai bien compris ce qu'il voulait maintenant,
cependant j'ai une petite question à propos de 2c)
comment on sait qu'il faut passer de :

\sum_{i=1}^n (R^i - R^{i-1}) = \sum_{i=1}^n R^i - \sum_{i=1}^n R^{i-1}

à

\sum_{i=1}^n (R^i - R^{i-1}) = R^n + \sum_{i=1}^n R^i - (I_2 + \sum_{i=1}^n R^i) = R^n - I_2

Posté par
lakere : les matrices 30-12-15 à 21:32

Si tu n' as pas trop l' habitude de manipuler des sommes, et je pense que c' est le cas, mieux vaux t' en tenir à l'  écriture développée (avec les termes qui s' annulent barrés) que je t' ai proposé juste avant. Il y a un changement d' indice un peu camouflé qui peut perturber...

Posté par
lakere : les matrices 30-12-15 à 21:36

D' ailleurs:

Citation :
\sum_{i=1}^n (R^i - R^{i-1}) = R^n + \sum_{i=1}^n R^i - (I_2 + \sum_{i=1}^n R^i) = R^n - I_2


Fais bien attention, ce n' est pas ce que j' ai écrit...

Posté par
mau027re : les matrices 30-12-15 à 21:37

oui en effet, on manipule très rarement les sommes, souvent les profs passent par une autre méthode.

Merci de ton aide ! Et bonnes fêtes

Posté par
lakere : les matrices 30-12-15 à 21:38

Bonnes fêtes à toi mau027


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