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Les nombres de Fibonacci
Bonjour tout le monde ! Voilà, je viens vous exposer mon problème ... L'énoncé :
on appelle nombre de Fibonacci l'entier fn égal au nombre de façons d'écrire n comme somme de termes égaux à 1 ou à 2 (un ordre différent des termes comptant pour une écriture différente). Par exemple, l'entier n = 4 s'écrit : 1+1+1+1, 1+1+2, 1+2+1, 2+1+1, 2+2. On a donc f4=5. On pose par ailleurs f0= 1.
-> En séparant les sommes en sommes dont le premier terme vaut 1(n=1+ ...) et en sommes dont le premier terme vaut 2 (n = 2+ ...), montrer que pour tout entier naturel n
2, on a : fn= fn-1 + fn-2.
Ma réponse : j'ai choisi de faire une démonstration par récurrence.
Soit la propriété P(n) "fn= fn-1 + fn-2", pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2.
Initialisation : pour n=2
Aucun souci pour le faire.
Hypothèse de récurrence : supposons qu'il existe un entier naturel k tel que P(k) " fk= fk-1 + fk-2" soit vraie.
Hérédité : montrons qu'alors P(k+1) " fk+1= fk + fk-1" est vraie aussi.
Mais pour la suite je bloque totalement ... Même mon prof n'a pas réussi à la résoudre sur le moment ... Aidez moi s'il-vous-plaît !
Hmm pardon ? Je suis pas sure d'avoir comprise ... Vous êtes parti d'où pour écrire ces calculs ? Je suis d'accord avec mais je ne saisis pas d'où ça vient ...
l'entier k +1 est le successeur de k
cet entier s'écrit ::
k + 1 = 1 + k
ou
k + 1 = 2 + k - 1
ce qui prouve la récurrence ....
d'ailleurs il est inutile de faire une récurrence .... il n'y en a pas ...
tu es en quelle filière ?
En filière scientifique ...
Ben pourtant la question d'après indiquait que pour trouver la réponse, il fallait s'aider de "la récurrence précédente" ... Et mon professeur a fait une récurrence aussi, qu'il n'a pas réussi à finir.
alors si ton prof n'est pas capable de faire cette démonstration et enseigne en S dis lui que c'est un bon à rien mauvais en tout !!!!
la démonstration tient en deux lignes de français ::
soit on écrit k comme une somme commençant par 1 soit on écrit k comme une somme commençant par 2
donc
k = 1 + k - 1 et il y a fk-1 façons d'écrire k - 1
ou
k = 2 + k - 2 et il y a fk-2 façons d'écrire k - 2
donc il y a fk = fk-1 + fk-2 façons d'écrire k (comme voulu dans l'énoncé)
...
Je crois avoir compris ! Merci beaucoup !!! Effectivement, c'était simple en fait ...
J'oserai jamais dire ça à mon prof mais je n'en pense pas moins ... Il y a plusieurs questions d'exercices fait en classe qu'il n'a pas trouvé et qu'il nous a donné à faire pour la fois suivante ... En bref ! Je vous remercie ! 
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