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Niveau terminale
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les sommes terminale

Posté par
pg3111
16-02-24 à 17:23

Bonjour:
On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout N par
un = k=0  k=n ln(1 - 1/(2k + 2)) et vn = ((2n)!)/((2 ^ n * n)!) ^ 2

1. Montrer que la suite (u_{n}) diverge vers moins l'infini.
Pour la question 1 j'ai montré que la limite de 1 - 1/(2k + 2) est 1 donc que la série diverge. De plus j'ai montré que Un est décroissante donc elle diverge en moins l'infini

2. En déduire le comportement de (vn) quand n tend vers plus l'infini
Pour la deuxième j'ai plus de mal. Je pense que:
exp(Un)= k=0 k=n (2k+1)/(2k+2) et ainsi il y aurait une lien avec vn. autrement dit Vn=exp(Un)*qqch.
Mais je n'arrive pas à développer Vn avec afin de trouver un lien entre les 2 expressions.
Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
pg3111
re : les sommes terminale 16-02-24 à 18:15

Je pense m'être  trompé sur la question 1 car ln(2k+1/2k+2) tend vers 0. Ducoup je pense qu'il faudrait utiliser un critère de comparaison mais je ne sais pas avec qu'elle série.

Posté par
larrech
re : les sommes terminale 16-02-24 à 19:00

Bonjour,

C'est vraiment un exercice de Terminale ?

Pour le 1/ on a une série à termes tous de même signe. On peut donc raisonner sur un équivalent du terme général.

Pour la 2/, mettre un sous forme de log d'un produit.

Posté par
larrech
re : les sommes terminale 16-02-24 à 19:02

Ou plutôt un-1

Posté par
carpediem
re : les sommes terminale 16-02-24 à 19:06

salut

c'est étonnant en terminale de ne pas avoir de questions préalables à cette question 1/

donc es-tu en terminale et où ?

le terme général de la somme tend vers 0 mais la somme elle tend effectivement vers -oo

réduire au même dénominateur w_k = 1 - \dfrac 1 {2k + 2}

puis décomposer \ln w_k en somme de ln


pour 2/ "développe" \ln v_n

Posté par
pg3111
re : les sommes terminale 18-02-24 à 00:15

Oui oui je suis bien en terminale mais c'est une exercice qui cherche à approfondir nos connaissances, il est bien évidement facultatif.
Pour la question 1: on peut dire que:
k
ln(2k+1)/(2k+2)0
\lim (ln(2k+1)/(2k+2))=0
et lim-1/2k+1=0  et lim(ln(2k+1)/(2k+2)/(-1/2k+1))=1 or -1/(2k+1) diverge en moins l'infini, donc la série Un diverge  aussi en moins l'infini.

Pour la question, 2:
Un-1=(ln(1-1/2k))
donc
Un-1=ln((1-1/2k))
=ln((2k+1/2k))
Mais je n'arrive pas a exprimer Vn avec des produits du coup je bloque

Posté par
larrech
re : les sommes terminale 18-02-24 à 09:09

Je n'ai pas trop le temps là, mais il faut corriger :

U_{n-1}= \ln (\prod_{k=1}^{n}{\dfrac{2k-1}{2k}})

Pour "voir" ce qui se passe il vaut mieux expliciter les produits.

Ainsi; à l'intérieur du log,  le numérateur est

N= 1 \times 3\times 5 \times...\times(2n-1)

qui peut s'écrire sous forme du rapport de 2 factorielles.

Même chose pour le dénominateur.

Je te laisse poursuivre ? L'objectif étant de faire apparaître v_n.

Posté par
pg3111
re : les sommes terminale 18-02-24 à 23:26

Ok ça nous donne:
\prod{1/2k}=1/2*1/4*...*1/2k=1/2^n(1*2*...*k)=1/(2^k*k!)
et
 \prod{}2K-1=1*2*3*4*5/1*3*5=(2k)!/(2^k*k!)
doncVn=exp(Un-1)
quand x tend vers moins l'infini exp(x) tend vers 0 donc Vn tend vers 0.  
Est ce que ça fonctionne?
En tout cas merci beaucoup pour vos conseils.

Posté par
larrech
re : les sommes terminale 19-02-24 à 08:36

C'est bien l'idée, mais c'est tellement mal écrit que cela en devient
faux.

Si l'on écrit les choses correctement :

\prod_{k=1}^{n}{(2k)}= 2^n n! et

\prod_{k=1}^{n}{(2k-1)}= \dfrac{(2n)!}{2^n n!}

d'où effectivement la conclusion.



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