Bonsoir.
En fait cette suite est appelée suite logistique et elle fait référence à une expression du second degré
u_n+1=2u_n-u_n²
Il ne doit y avoir aucune difficulté pour répondre aux questions.
Pour rappel, une démonstration par récurrence se fait en deux étapes :
on montre que la relation est vraie pour la plus petite valeur possible de l'indice (ici k=0) (tu peux également le faire pour k=1 pour te rassurer)
Ensuite tu supposes la relation vraie pour k=n et tu dois la montrer pour k=n+1, ce qui ne devrait pas poser de problème dans le cas qui t'est proposé.
Bon travail

Je te refile un tuyau.
Considère la fonction f(x)=x(2-x)=2x-x².
Si tu étudie le signe de f(x), tu vois que la fonction est strictement positive entre 0 et 2 (0 et 2 exclus).  De plus, cette fonction ayant pour graphique une parabole tournée vers le bas, son sommet est en (1,1).  Dès lors, si x<1, f(x)<1.
Par la relation de récurrence, puisque u_n est compris entre 0 et 1, f(u_n) le sera également par les considérations ci-dessus.
Pour montrer la croissance, il faut que u_n+1>u_n, ou encore que u_n+1/u_n >1.  Or cette dernière donne (2-u_n)>1  ce qui est évident puisque u_n<1.
La suite est croissante et est bornée par 1 : elle semble être convergente vers 1.
Le reste doit pouvoir être fait.
Un deuxième tuyau : la suite des nombres u0,f(u0)=u1,f(u1)=u2, ... constitue ce qu'on appelle l'orbite de u0.
Un logiciel appelé Winfract, gratuit sur le Web, te permet de visualiser les orbites de tous les réels pour la fonction f(x)=ax(1-x):le diagramme de bifurcation.
C'est le météorologue Ian Steward qui en a découvert les ficelles avec l'américain Feigenbaum (années 1960).  Ce diagramme est une base de la théorie du chaos, théorie découverte par Henri Poincaré dans les années 1902.  Elle a permis à Benoît Mandelbrod de présenter sa théorie des fractales en 1969.
Cette dernière est d'une importance capitale dans les années qui viennent.  Nous n'en sommes qu'au début des applications... théorie de l'univers, spacemaker, etc. c-à-d. toute application faisant intervenir des objets en mouvement les uns par rapport aux autres (en 3 dimensions et en gros pour te faire une idée).
Si cela te passionne, tu peux également découvrir le flocon de Von Koch, surface limitée par une ligne polygonale (ayant + ou - la forme d'un flocon de neige) calculable, mais dont le périmètre est infini...

salut
1 je passe.
2a.raisonnemnent par recurrence tout bete.
d'apre ce qu'a dis ma_cor aucun probleme. et avec ceci encore moins :

u(n+1)=-(u(n)-1)^2+1

2b. montrer que la suite (un) est croissante

u(n+1)-u(n)=u(n)*[1-u(n)]. d'apres 2a tu as
u(n+1)-u(n)>=0. donc elle est croissante.

2c. croissante et majoree par 1 => elle converge.

3a. v(n+1)=1-u(n+1)=1-2u(n)+u(n)^2=(1-u(n))^2=v(n)^2
donc v(n+1)=v(n)^2

3b.soit b=v(n)
alors b^2=v(n+1)
v(n+2)=b^4
v(n+3)=b^8

seul l'exposant augmente et de la facon suivante 1,2,4,8,16,32... l'exposant se comporte comme la suite geometrique de raison 2 et de premier terme 1.
tu ne me crois pas ? verification.

on va montrer que pour tout n v(n)=(1-a)^[2^n]
raisonnement par recurrence sur n.
n=0. (1-a)^[2^n]=(1-a)^[2^0]=(1-a)^1=1-a
or v(0)=1-u(0)=1-a.
donc c'est bon pour n=0.
soit n dans N tel que v(n)=(1-a)^[2^n]
on regarde v(n+1).
v(n+1)=v(n)^2 d'apres question precedente.
d'apres l'hpothose de recurrence on a v(n+1)=[(1-a)^[2^n]]^2
v(n+1)=(1-a)^[(2^n)*2]=(1-a)^(2^(n+1))
donc ok pour n+1.
donc v(n)=(1-a)^[2^n]

comme a=1/8, v(n)=(7/8)^[2^n]
|7/8|<1 et 2^n->+inf pour n->+inf. donc v(n)->0 pour n->+inf.
or v(n)=1-u(n) donc COMME u(n) converge (cf question 2c) ainsi que v(n) (vue a l'instant)
lim v(n)=1-limu(n)
n->+inf    n->+inf.
donc 0=1-limu(n)
         n->+inf.
donc lim u(n)=1
    n->+inf

remarque ceci est pour a=1/8.
a+

merci beaucoup votre aide m a été précieuse