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Les suites
Bonjour pouvez-vous m'aider s'il vous plait pour résoudre cet exercice :
Soit a, b deux nombrres réels vérifiant 0 < a < b.
On définit les suites (Un) et (Vn) par :
U0 = a et, pour tout n de N, Un+1 = (2UnVn)/(Un+Vn)
V0 = b et, pour tout n de N, Vn+1 = (Un+Vn)/2
1- Vérifier que (Un) et (Vn) sont strictement positives.
Je sais qu'il faut que je montre que un<un+1. mais je n'y arrive pas.
2- On pose, pour tout entier naturel n, Wn=Vn-Un.
Demontrer que 0<Wn+1<1/2Wn et en déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
pour tout entier naturel n, on a 0 < Wn < (b-a)/(2^n).
Je ne vois pas du tout comment faire la premiere partie de la question, et pour la deuxieme je ne m'en sors pas avec le raisonnementpar recurrence...
3- Démontrerque la suite Un est croissante et que la suite est décroissante.
J e ne vois pas comment faire parce que dans Vn il y a Un et dans Un il y a Vn.
4- Que peut on en déduire pour les suites (un) et (vn)?
J e sais qu'elles sont adjacentes.
5-A l'aide de l'étude de la suite (UnVn), déterminer la valeur de la limite commune des suites (Un) et (Vn) ?
Application : En prenant a=3 et b=5, déterminer l'aide de (Un) et(Vn) un encadrement d'amplitude inférieure à 10^-2 de racine de 15 par deux rationnels.
Par avance je vous en remercie !
Elotwist
Salut,
1. On ne te demande pas de montrer que Un est croissante (Un < Un+1) mais que les deux suites sont positives.
Il faut utiliser une récurrence:
U0 et V0 sont strictement positives (par hypothèse 0 < a < b).
La récurrence est donc amorcée.
Supposons que Un et Vn soient positifs; Alors:
>0 car tous les termes sont positifs par hypothèse de récurrence.
et >0
la récurrence est alors itérative.
On en déduit que Un et Vn sont des suites à termes positifs.
2.*
Or: donc
*Montres par récurrence que pour tout entier n:
(
3. Il te suffit juste de la question précédente: pour tout n, wn>0, cad vn-un>0
>0
4. Effectivement U et V sont des suites adjacentes.
5. Etudions la suites
cette suite est donc constante et pout tout n:
Les suites u et v étant adjacentes, elles ont la même limite l et la suite (uv) a comme limite l².
donc l²=ab.
on en déduit mais u et v étant des suites positives, leur limite est nécessairement positive; on en déduit
.
a=3 et b=5. La limite des suites u et v est donc et pour tout n on a:
on souhaite que , cad
or
on cherche donc n tel que:
cad
prenons n=8, vérifiant cette inégalité.
Alors est un encadrement avec une amplitude de 10-2.
A toi de calculer u8 et v8.
bonjour,
j'abandonne , je me suis fait doubler sur toute la ligne (pour au moins la 2° fois)
bon week-end
N'abandonne pas. Ca t'entraine, c'est un bon point! C'est normal que j'aille plus vite.... et heureusement pour moi d'ailleurs!
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